Làm thế nào tháo được chuỗi chín vòng?

Chuỗi chín vòng là trò chơi dân gian cổ của Trung Quốc thịnh hành vào đời nhà Minh, Nhà Thanh, ở nước người ta gọi đó vòng Trung Quốc “Chinese ring”. Không có tài liệu nào nói về xuất xứ, thời điểm xuất hiện của chuỗi chín vòng. Nhà toán học nổi tiếng Cardan đã từng đề cập đến chuỗi chín vòng. Nhà toán học Wallis cũng đã có các phân tích tinh tế.

Chuỗi chín vòng có cấu tạo như sau: Đó là chuỗi có chín vòng tròn, mỗi vòng đều có cán thẳng (thường bằng dây thép), xuyên qua vòng sau và xuyên qua một lỗ nhỏ trên một tấm gỗ (hay thép). Đầu dưới mỗi cán có một vòng nhỏ để khi chuyển động lên xuống cán không tuột ra khỏi tấm gỗ. Ngoài ra còn có một chạc bằng dây thép.

Mục đích trò chơi là xâu lần lượt chín cái vòng vào cái chạc hoặc tháo chín cái vòng đã xâu. Xâu vào hoặc tháo ra đều không dễ mà phải làm mấy trăm động tác theo một quy luật nhất định, tức phải có một thuật toán.

Trước hết xin giới thiệu các động tác cơ bản.

Nếu muốn xâu vòng vào kẹp trước hết phải đưa vòng từ dưới lên trên qua tâm chạc (theo đường nét đứt trong hình A) rồi xâu vào đầu chạc như hình B. Động tác này trừ vòng thứ nhất thực hiện khá dễ dàng còn các vòng sau do bị vướng các vòng khác nên không thể thực hiện một cách trực tiếp. Nhưng có điều cần chú ý là: nếu chiếc vòng sát ngay trước đã xâu vào chạc mà không vướng vòng nào khác nữa phía trước, thì chỉ cần nâng vòng đó lên tạm thời (như hình C) và vòng sau có thể xâu vào được, sau đó đưa vòng trước trở về vị trí cũ (xem hình D). Còn nếu để tháo các vòng ta chỉ cần làm các bước ngược lại khi xâu vòng.

Sau khi nắm được hai động tác cơ bản, phải luyện tập nhiều lần mới có thể xâu vào tháo ra tuỳ ý được. Bây giờ ta thấy, nếu chỉ xâu vòng thứ nhất thì chỉ cần một bước là được. Muốn xâu hai vòng (thứ nhất và thứ hai) phải xâu vòng thứ nhất trước rồi mới xâu vòng thứ hai, vì vậy phải thực hiện hai bước. Muốn xâu ba vòng thì phức tạp hơn.

Trước hết phải xâu được vòng thứ nhất và vòng thứ hai, rồi lại phải tháo vòng thứ nhất ra mới xâu được vòng thứ ba, sau cùng phải xâu lại vòng thứ nhất. Như vậy vẫn phải thực hiện năm bước.

Khi số vòng cần xâu càng nhiều thì các bước cần phải thực hiện càng nhiều, nếu không chú ý thì sẽ bị nhầm và rối loạn toàn bộ. Từ thời xưa người ta đã nghĩ đến điều đó và đặt ra một câu vè nêu các bước cần thiết khi tháo lắp vòng: Cứ tám bước là một khâu, trong đó bảy bước trước phải theo là: ”một hai một ba một hai một (còn “lên” hay “xuống” là tuỳ tình hình: Tức chưa ở trên chạc thì “lên”, đã ở trên chạc thì “xuống”). Bước thứ tám thì tuỳ tình hình đầu chạc mà quyết định. Nếu đã có hai vòng liền nhau rồi thì nhất định phải tháo vòng sau ra, nếu chỉ có một vòng, nhất định phải xâu vòng sau lên. Toàn bộ sự khéo léo đều bao gồm trong câu vè trên đây. Theo ba câu vè, để cởi hoặc lắp chín cái vòng cần đến 431 bước, nhưng thực ra cũng không tốn nhiều sức khi đã thuộc và quen các thao tác.

Vào năm 1975 xuất hiện một quyển sách chuyên môn, bên trong có một chuỗi số 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341.

Chuỗi số không phải là cấp số cộng, cũng không phải là cấp số nhân? Thực ra đó là chuỗi số gì? Đó chính là “chuỗi số chín vòng”, con số n chỉ số bước cần thực hiện khi số vòng cần tháo, gỡ càng tăng.

Thế các số xuất hiện có theo quy luật không? Qua nghiên cứu người ta tìm thấy quy luật lập dãy số. Nếu kí hiệu Un là số hạng thứ n trong dãy số, ta có công thức:

Nếu n là số chẵn thì Un = 2Un-1

Nếu n là số lẻ thì Un = 2Un-1+1

Theo công thức trên rõ ràng nếu có U1, nhất định sẽ tính được U2, U3... Người ta gọi cách suy luận trên đây là phương pháp “đệ quy”. Ngoài ra còn có công thức tính trực tiếp Un như sau: