Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Số π được tính như thế nào?

Số pi (π) là gì?

Tại sao thông tin trở thành căn cứ của quyết sách?

Vào cuối thu năm 1794, khi Napôlêông đưa quân vào Hà Lan, Hà Lan đã cho mở các cửa đập của các con sông để ngăn chặn bước tiến của đại quân Pháp do...

Vì sao rượu Thiệu Hưng càng để lâu càng thơm?

Rượu Thiệu Hưng là một đặc sản của Trung Quốc, nhiều lần được tặng thưởng huy chương vàng trong các cuộc triển lãm thực phẩm quốc tế: Rượu có màu vàng...

Vì sao không thể tùy tiện xây dựng công trình thủy lợi?

Từ xưa đến nay, các công trình thuỷ lợi đã thúc đẩy sự phát triển kinh tế và xã hội của con người. Về mặt phòng lũ, vận chuyển đường sông, công nghiệp...

Sự kiện bệnh đau nhức xảy ra như thế nào?

Trên thế giới có nhiều bệnh kì lạ đưa lại đau khổ cho con người. Năm 1955 – 1972, ở lưu vực sông Thần Thông, huyện Phú Sơn, Nhật Bản đã xuất hiện một...

Vì sao cơ bắp của vận động viên mạnh hơn cơ bắp người bình thường?

Vận động viên cử tạ xuất sắc có thể nâng được một trọng lượng lớn gấp đôi trọng lượng cơ thể; vận động viên đẩy tạ có thể đẩy quả tạ rất nặng xa mấy...

Làm thế nào để rút các khoáng chất trong nước biển ra?

Nước biển màu xanh nên có tên gọi đẹp là "Kho báu màu xanh". Theo tính toán, trong nước biển chứa 17 triệu tỉ tấn natri, 2,1 triệu tỉ tấn magie, 60...

Vì sao cái Yoyo có thể tự động quay về lòng bàn tay?

Cái yô yô là đồ chơi luyện sức khoẻ rất thú vị. Khi chơi yô yô, dùng tay nắm giữ một đầu dây quấn quanh trên trục ngắn của nó, rồi ném nó xuống phía dưới.

Vì sao trong thành phố lại xuất hiện gió nhà cao tầng?

Khu vực Manshettơ ở New York, Mỹ nhà cao chọc trời, xe cộ nườm nượp, dòng người không dứt. Có hôm lúc tan tầm, một nhà nữ kinh tế học vừa ra khỏi nhà...