Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Vì sao nhiều người thích dùng ấm trà "Tử Sa" để pha trà?

Ấm trà Tử Sa là loại sản phẩm công nghệ truyền thống đặc thù của Trung Quốc. Huyện Nghi Hưng, tỉnh Giang Tô được xem là "Kinh đô" đồ gốm của Trung...

Vì sao gọi phích nước nóng là không chính xác?

Chúng ta thường quen gọi phích giữ nhiệt là phích nước nóng, bởi vì trong gia đình chúng ta thường đổ nước sôi vào trong phích để giữ nhiệt.

Màu sắc thịnh hành quốc tế đã ra đời như thế nào?

Màu sắc thịnh hành quốc tế là chỉ chung những nhóm màu trong một khoảng thời gian nào đó được đông đảo người tiêu dùng ưa chuộng. Hiện tượng này bắt...

Vì sao nói bụi bay lơ lửng gây hại lớn hơn bụi lắng?

Bụi lơ lửng và bụi lắng đều là các hạt bụi trong không khí. Bụi trong không khí có thể phân thành bụi cấp I và bụi cấp II.

Đường dây điện thoại có thể mắc sát với đường điện không?

Lắp đặt cho nhà mới, có người để giản tiện, thường cho chạy đường điện thoại song song với đường điện. Có vùng nông thôn, vì để tiết kiệm cột điện, mà...

Máy biết học là sao vậy?

Nghiên cứu việc học tập của máy là làm sao để máy tính bắt chước hoặc thực hiện được hoạt động học tập của con người.

Vì sao khi da bị va đập lại hình thành đám bầm tím?

Đi đường vấp ngã là việc bình thường. Có lúc không can gì, nhưng có lúc ngã xong, ngoài cảm giác đau, da còn bị sây sát và xuất hiện một đám bầm tím.

Vì sao bốn mùa trong năm không dài như nhau?

Mỗi mùa trong năm không phải tròn trịa bằng số ngày một năm chia cho 4, mà được căn theo thời tiết phục vụ nhà nông. Vì thế, nó chẳng liên quan gì đến phép chia đều.

Thạch anh là gì?

Dưới ánh sáng Mặt Trời chói chang, các hạt cát trắng sẽ làm bạn chói mắt. Trong các hạt cát nhỏ có những hạt không màu trong suốt, giống như những...