Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Trẻ em sinh trong ống nghiệm có phải lớn lên trong đó không?

Nói đến trẻ em sinh trong ống nghiệm, hầu như ai cũng nghe biết, nhưng không phải ai cũng hiểu rõ trẻ em được sinh trong ống nghiệm như thế nào. Rất...

Thế nào là vật liệu thông minh?

Các sinh vật trong giới tự nhiên đều có công năng tự biến đổi, tu sửa để hồi phục. Ví dụ với con người thì cho dù có rách da chảy máu, gãy xương thì...

Tại sao trong lễ sinh nhật người ta phải thổi tắt nến?

Đến ngày sinh nhật của mình, các bạn nhỏ bao giờ cũng thích ngồi quây quẩn với bố mẹ, họ hàng và bạn bè, rồi thổi tắt một số lượng nến bằng số tuổi...

Tại sao hai bên thân cá thông thường đều có trắc tuyến (đường bên)?

Nếu như quan sát cá một lúc thì sẽ phát hiện thấy hầu như đại đa số hai bên thân cá đều có một đường hoa văn hình sợi thông thẳng từ phần đầu xuống phần cuối của đuôi....

Tại sao có loài hoa thơm, còn có loài hoa không thơm?

Nói chung, trong mỗi loài hoa đều có chứa hương thơm, nhưng không phải tất cả các loài hoa đều có hương thơm. Tại sao lại như vậy? Trước tiên chúng ta...

Tại sao sinh vật có thể bị tuyệt chủng?

Chim Đô Đô và chim bồ câu Bắc Mĩ là những sinh vật đã từng tồn tại trên Trái Đất với số lượng lớn và sớm đã trở thành di vật của lịch sử. Những loại động vật quý hiếm khác như hổ Đông Bắc, voi Châu Phi, hắc tinh tinh...

Vì sao phải phóng vệ tinh khí tượng?

Trái Đất là một hành tinh. Phàm những thiên thể quay quanh hành tinh đều gọi là vệ tinh.

Tiêu chí môi trường có công dụng gì?

Khi vào các cửa hàng bạn có thấy rằng: ngày nay trên nhiều hàng hoá đều có dán nhãn hiệu – Tiêu chí môi trường. Tiêu chí môi trường còn gọi là tiêu...

Thế nào là hiệu ứng nhà kính?

Mùa đông ở phương Bắc đất đông giá, cây cỏ tiêu điều, nhưng ở trong nhà kính lại ấm áp như mùa xuân, cây dưa đầy quả, rau cỏ tốt tươi, quang cảnh tràn...