Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Tại sao cần phải có luật quốc tế?

Từ xa xưa đến nay luôn luôn xảy ra những mắc mớ giữa các nước về mậu dịch và lãnh thổ. Để giải quyết những mắc mớ đó, người ta phải họp nhau để thống...

Tại sao tuổi thọ của một số loại thực vật cực ngắn?

Những chuyện thú vị trong thế giới tự nhiên nhiều vô kể, không biết các bạn đã chú ý đến chưa, bất luận là các loại cây cao đến 100 mét hoặc những cây...

Kiến trúc tường kính có những nhược điểm gì?

Trong các thành phố lớn hiện đại hoá, nhiều kiến trúc cao tầng đã dùng kết cấu "tường kính" mới mẻ đẹp mắt. Đó là một loại kính đặc biệt, dùng công...

Rắn không có chân mà tại sao có thể bò rất nhanh?

Rắn hiện nay đang sống đều không có chân, chỉ có rất ít loài, ví dụ như con trăn còn có dấu vết của chân sau, đủ thấy tổ tiên của rắn có chân, chẳng qua là sau này đã dần dần thoái hoá mà thôi.

Tại sao chỉ một chiếc đĩa VCD nhỏ xíu mà lại chiếu phim tới hơn một tiếng?

VCD được phát triển từ CD. CD là một loại đĩa quang lưu trữ tín hiệu âm tần, thường gọi là đĩa hát laze.

Vì sao có sóng thần?

Tục ngữ nói: "Không có gió thì không nổi sóng”. Trong điều kiện bình thường đúng là như thế.

Tại sao ruồi chuyên đậu ở những nơi bẩn lại không bị bệnh?

Ruồi thích đậu ở bãi phân và sống ở trên những đồ vật bẩn như động, thực vật thối rữa... Bên trong các đồ vật thối rữa này có chứa một số lượng lớn các loại vi khuẩn.

Đông trùng hạ thảo là động vật hay thực vật?

Trong các vị thuốc Đông y có một loại gọi là đông trùng hạ thảo (cũng gọi hạ thảo đông trùng hoặc trùng thảo), mùa đông nó là côn trùng, mùa hè nó lại...

Tại sao mỏ của loài chim lại có nhiều hình dạng?

Giống như các loài động vật khác, mỏ của loài chim có rất nhiều hình dạng. Ví dụ, mỏ của chim hạc to, dài và mảnh, tỏ ra rất khoẻ và có sức hơn đối với việc mò thức ăn ở chỗ nước nông và cặp chặt tôm cá cho khỏi trơn tuột.