Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Vì sao có một số người thấp nhỏ?

Có nhiều người trông khuôn mặt rõ ràng là đã trưởng thành nhưng thân thể lại rất thấp bé, giống như một thiếu niên.

Tại sao tàu ngầm có thể chạy thoải mái ở dưới nước?

Tàu thuỷ thông thường chỉ có thể chạy ở trên mặt biển, nhưng tàu ngầm thì trái lại, nó không những chạy ở trên mặt nước, mà còn có thể lặn xuống biển...

Vì sao khi miệng vết thương sắp lành thường cảm thấy ngứa?

Khi miệng vết thương sắp khép kín, ta thường cảm thấy ngứa. Người già hay nói: "Không can gì, đó là vết thương sắp khỏi".

Cuộc chiến điện tử chính là cuộc chiến thông tin chăng?

Cuộc chiến điện tử (Electronic Warfare) khác với cuộc chiến thông tin (Information War - IW). Có thể nói cuộc chiến thông tin bao hàm cuộc chiến điện...

Vì sao vật liệu nanomet lại đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển khoa học kỹ thuật?

Kỹ thuật nanomet xuất hiện vào những năm 80 của thế kỷ XX, do những tính chất kỳ lạ của vật liệu nanomet, là một trang mới trong kỹ thuật cao.

Thư viện thế giới lớn nhất thế giới ở đâu?

Thư viện Quốc hội Mỹ là thư viện lớn nhất thế giới. Nó được xây dựng ở thủ đô Washington tại một nơi tao nhã, phong cảnh rất đẹp.

Vì sao khi ngủ phải chú ý tư thế nằm?

Ngủ là phương thức nghỉ ngơi quan trọng nhất của cơ thể. Chất lượng ngủ quan hệ đến hiệu suất học tập và làm việc ban ngày.

Tại sao hoa Tulip có tên gọi là Uất Kim Hương?

Hoa Tulip có vẻ đẹp sang trọng và lịch sự, hoa nổi hình kim hoặc hình chén, bông to và rất đẹp, hoa bọc sáu cánh, chia làm ra hai hàng trong ngoài;...

Vì sao lại phải chia cụm cho các đoàn tàu?

Trung Quốc là một nước có đất đai rộng lớn nhưng tài nguyên thiên nhiên thì lại hết sức mất cân đối, vì thế, vận chuyển giao thông đường sắt dã phải...