Bài toán bảy chiếc cầu và bài toán vẽ liền một nét?

Vấn đề bảy chiếc cầu nảy sinh vào thế kỉ XVIII tại thành phố Kơnichxbec (Kửnigsberg), vào thời đó Kơnichxbec thuộc Đức, còn ngày nay là thành phố Kaliningrat (Kaliningrad) thuộc Cộng hoà Liên bang Nga.

Vào thời đó ở thành phố Kơnichxbec có một con sông có hai hòn đảo nhỏ. Các hòn đảo nối với bờ nhờ bảy chiếc cầu như ở hình vẽ 1. Trên hình A, D là hai hòn đảo, còn C, B là đôi bờ. Cư dân của thành phố Kơnichxbec thường đến dạo chơi trên đảo. Lâu dần nảy sinh câu hỏi: Liệu có thể xuất phát từ một điểm, không bỏ sót cũng không đi qua cầu hai lần mà trở về chỗ cũ? Vấn đề này về sau được gọi là bài toán bảy cây cầu.

Nếu lược bỏ điều kiện “lại trở về chốn cũ” mà chỉ còn hỏi: “Liệu một du khách có thể không bỏ sót mà lại có thể chỉ qua cầu một lần? thì sẽ biến thành vấn đề vẽ liền một nét.

Nếu vấn đề giải được, ta nói bài toán “có lời giải”; nếu ngược lại, ta nói vấn đề “không có lời giải”.

Vào thời đó, nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle (L. Euler) đang sống tại Kơnichxbec và bài toán bảy cây cầu đã gây cho ông nhiều hứng thú. Năm 1736, Ơle đã công bố luận văn giải quyết được bài toán bảy cây cầu và sáng tạo ra ngành “toán đồ” là một ngành của toán học. Luận văn này của Ơle là luận văn đầu tiên về toán đồ.

Theo phương pháp toán đồ, để dễ xem xét thảo luận thường người ta dùng phương pháp đơn giản hoá các hình vẽ. Ta biểu diễn các đảo A, D và đôi bờ C, B thành các điểm đỉnh như hình 2. Bảy cây cầu được biểu diễn bằng bảy nét liền, cũng được gọi là bảy đường viền. Nếu một đỉnh có nối với số lẻ các đường viền ta gọi đó là đỉnh lẻ, còn đỉnh nối với các số chẵn các đường viền, ta gọi đó là đỉnh chẵn. Nếu từ hình vẽ ta bắt đầu từ một điểm đỉnh liên tiếp qua điểm, đường, điểm...đến liên tiếp một đỉnh điểm bất kì, người ta nói hình này là liên thông. Ơle đã chứng minh “quy tắc phán định”.

Với một hình vẽ được bằng một nét liền thì hình đó là liên thông và là những hình mà trừ điểm đầu và điểm cuối thì các điểm khác phải là điểm chẵn.

Yêu cầu để một bài toán đi về vẽ liền một nét có lời giải là phải liên thông và bất kì điểm đỉnh nào cũng phải là điểm chẵn.

Bài toán bảy cây cầu là bài toán vẽ nét liền đi và về, vì bốn đỉnh A, B, C, D của hình 2 đều là đỉnh lẻ nên bài toán không có lời giải. Bất kì một khách du lịch nào cũng không thể từ một điểm xuất phát lại quay về chốn cũ mà không bỏ sót hoặc đi qua một cây cầu nào đó hai lần.

Với hình 2 không chỉ là việc yêu cầu quay về chốn cũ mà ngay việc vẽ nét liền cũng không thực hiện được mà không bỏ qua hoặc lặp lại hai lần.

Như vậy từ bài toán bảy cây cầu, chúng tôi đã giới thiệu bài toán vẽ nét liền. Bài toán vẽ nét liền nếu đặt một cách chính xác thì phải phát biểu như sau: Cho một hình phẳng, liệu có thể giữ cho bút không rời mặt giấy mà xuất phát từ một điểm, các đường chỉ được bút vẽ một lần mà hoàn thành được hình vẽ. Còn nếu yêu cầu sau khi vẽ xong hình thì bút phải quay về vị trí ban đầu thì đó là bài toán vẽ nét liền đi và về. Bạn hãy theo quy tắc Ơle để phán đoán xem hình 3 có thể là một hình: 1) Vẽ liền được một nét; 2) Nếu là hình vẽ được một nét thì có thể đi và về được không? Mời các bạn làm thử.

Các hằng tinh có phải vĩnh viễn tồn tại không?

Các ngôi sao năm này qua năm khác toả sáng, tựa hồ như mãi mãi không thay đổi. Hằng tinh có thật là mãi mãi bất biến không? Không phải như thế! Hằng...

Tại sao chuột lữ phải nhảy xuống biển để chết?

Chuột lữ là một loài động vật gặm nhấm cỡ nhỏ, thân dài khoảng 10 cm, sinh sống ở gần vành đai Bắc Cực.

Vì sao sắt lại bị gỉ?

Sắt là kim loại rất dễ bị gỉ. Hầu như các đồ vật bằng sắt bày trong viện bảo tàng đều bị gỉ loang lổ.

Vì sao Trái Đất lại có nhiều nham thạch đến thế?

Trên Trái Đất khắp nơi đều có đá. Có một số vùng bề mặt là bùn cát, nhưng phía dưới là đá.

Kiến trúc hiện đại và kiến trúc hậu hiện đại có gì khác nhau?

Lịch sử kiến trúc hầu như cũng lâu dài như lịch sử loài người. Kiến trúc của người nguyên thuỷ là những lều lán dùng cành cây, đất sét, lá cây, da...

Tại sao lại có một số quả như quả bầu, quả dưa chuột bị đắng?

Quả bầu nướng là một món ăn ngon đầu mùa hạ ở phía Nam Trung Quốc, nhưng có khi gặp phải “quả bầu đắng”, ngay cả thịt cũng đắng đến nỗi không ăn nổi....

Trên Hoả Tinh có sông đào không?

Năm 1877 kỹ thuật quan trắc thiên văn đã có nhiều tiến bộ. Đó cũng là năm Hoả Tinh gần Trái Đất nhất, gọi là năm "đại xung".

Vì sao lại xuất hiện nguy cơ về nguồn năng lượng?

Cùng với sản xuất công, nông nghiệp phát triển và mức sống nhân dân được nâng cao thì nguồn nguyên liệu và năng lượng tiêu hao ngày càng nhiều. Nếu...

Kim loại nào nhẹ nhất?

Nếu có người bảo có thể dùng dao cắt kim loại thành lát mỏng chắc bạn sẽ không tin. Thế nhưng sự thực lại có nhiều kim loại như vậy, liti là một trong...