Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Tại sao xe đạp có bộ biến tốc có thể thay đổi tốc độ?

Đối với nhiều người, xe đạp là phương tiện giao thông không thể thiếu trong cuộc sống hàng ngày. Trước đây, loại xe mọi người thường dùng là xe đạp bình thường, không thề tự thay đổi tốc độ...

Vì sao sương mù ở thành phố Trùng Khánh đặc biệt nhiều?

Trùng Khánh là thành phố sương mù nổi tiếng, bình quân hàng năm có trên 100 ngày sương mù. Tháng giêng bình quân hai ngày có một ngày sương mù.

Thiên thạch ở dạng băng là như thế nào?

Vật thể thiên nhiên ở trạng thái cố định rơi xuống mặt đất từ không gian vũ trụ xuyên qua tẩng khí quyển Trái đất gọi là sao Băng, sao Băng có thể...

Vì sao nước máy đã được sát trùng nhưng chỉ nên uống sau khi đã đun sôi?

Quá trình sản xuất nước máy thường phải qua mấy bước: Lấy nước, thêm hoá chất, khuấy trộn, kết tủa, lọc. Trong đó bước thêm hoá chất là nhằm thêm chất...

Di tinh có hại cho sức khỏe không?

Nam giới đến tuổi dậy thì thường chiêm bao di tinh, tức là tinh dịch tiết ra. Đó là vì đến tuổi dậy thì, ngọc hoàn không ngừng sản xuất tinh trùng,...

Chuột có thể chui vào trong mũi của voi hay không?

Điều kì lạ là hiện nay có rất nhiều người cho rằng, sư tử và hổ tuy không đánh được voi, nhưng con chuột bé nhỏ lại có thể thuần phục được khắc tinh của mình là con voi to lớn này.

Vì sao lại sinh ra hình học phi Euclide?

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có thể vẽ vô số đường thẳng không cắt nhau. Các bạn có tin không? Cho dù đây là mệnh đề mâu thuẫn với các giáo...

Vì sao những hạt nước trên lá sen đều là những giọt nước nhỏ tròn vo?

Bạn đã từng chú ý đến sự việc này chưa? Mùa hè các hạt nước rơi xuống lá sen, chúng sẽ biến thành từng giọt, từng giọt nước nhỏ long lanh trong suốt. Chúng lăn qua lăn lại trên lá sen như những viên ngọc trai lăn trong khay vậy.

Ngôi nhà tự động hóa là gì?

Nói tới ngôi nhà tự động hóa là người ta nghĩ ngay tới các đồ điện gia dụng như tủ lạnh, máy giặt tự động hoàn toàn, máy điều hòa nhiệt độ, ti vi, máy...