Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Côn trùng có mấy loại "miệng"?

Các nhà khoa học gọi "miệng" của côn trùng là giác quan hai bên miệng. Tuy trong vương quốc côn trùng có hơn 1 triệu thành viên, nhưng kiểu giác quan hai bên miệng của chúng lại không nhiều

Con người vì sao biết xấu hổ?

Có một số người khi giao tiếp với người khác, đặc biệt là với người lạ, thầy giáo hoặc người lớn tuổi, thường cảm thấy xấu hổ và sợ hãi. Họ thường lắp...

Vì sao lưỡi có thể biết được hương vị thức ăn?

Có người gọi đầu lưỡi là "máy nếm". Quả đúng thế, các vị chua, cay, đắng, ngọt, bùi của thức ăn trước hết đều do lưỡi thưởng thức.

Người câm có nhất định là điếc không?

Người điếc không nhất định là câm, nhưng người câm hầu như đều là điếc. Rất nhiều người tai không nghe thấy người khác nói, nhưng tự mình nói lên lại...

Vì sao một tên lửa có thể phóng nhiều vệ tinh?

Phương thức truyền thống phóng vệ tinh là dùng một tên lửa phóng một vệ tinh. Còn dùng một tên lửa đồng thời phóng nhiều vệ tinh vào quỹ đạo là một kỹ...

Tại sao trên máy bay không được sử dụng điện thoại di động?

Ngày 11 tháng 7 năm 1996, chuyến bay CZ3504 của Hãng hàng không Phương Nam, Trung Quốc từ Thượng Hải bay tới Quảng Châu. Khi máy bay gần tới Quảng...

Tại sao nước được đun sôi tới 1000C, nếu tiếp tục đun nhiệt độ vẫn không tăng thêm?

Mọi người thường nói, nước sôi ở nhiệt độ 1000C. Khi áp suất trong không khí ở mức tiêu chuẩn 1 átmốtphe, điểm sôi của nước sẽ là 1000C.

Tại sao bác sỹ có thể chẩn đoán được bệnh qua tai nghe?

Khi đi khám bệnh, bác sĩ thường dùng tai nghe áp vào ngực và lưng bạn để nghe. Bác sĩ nghe gì vậy?

Các tiểu hành tinh được phát hiện như thế nào?

Khi nghiên cứu quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, các nhà khoa học đã phát hiện một sự kiện rất thú vị. Họ phát hiện các hành tinh không...