Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Tại sao gọi cây xương rồng Saguaros là “người khổng lồ” của sa mạc

Với chiều cao trung bình 9,1 đến 13,3 mét, có cây cao vọt lên tới 15,5 mét, xương rồng Saguaros nổi bật trên sa mạc hoang vắng với những thân cây cao...

Các hành tinh quay quanh Mặt trời như thế nào?

Nhà thiên văn học người Ba Lan Copecnic trong tác phẩm nổi tiếng bất hủ của mình là “Luận vận hành thiên thể” đã giải quyết một cách chính xác vấn đề...

Vì sao có thể phá sương mù bằng phương pháp nhân tạo?

Sương mù là do những giọt nước hoặc tinh thể băng trôi nổi trong không khí mà thành. Khi có mù sẽ cản trở tầm nhìn, do đó những vật xa nhìn không rõ,...

Tại sao phải nghiên cứu thuật toán?

Nói theo cách thông tục thì thuật toán là cách thức cụ thể giải quyết vấn đề. Trong Tam quốc diễn nghĩa, Chu Du và Gia Cát Lượng để đập tan cuộc tiến...

Chu Nguyên Chương đã trở thành vị hoàng đế khai quốc của Trung Quốc như thế nào?

Năm 1368 tại kinh đô cổ Nam Kinh đã cử hành một điển lễ long trọng, đưa một vị hoà thượng ăn mày lên ngôi hoàng đế. Đó chính là hoàng đế khai quốc Chu...

Vì sao các nhà thiên văn phải chụp ảnh các ngôi sao?

Chụp ảnh là để lưu lại cho chúng ta những kỷ niệm tốt đẹp và lâu dài. Thế mà các nhà thiên văn lại chụp ảnh các ngôi sao trên trời để làm gì? Nguyên...

Thế nào là hạt cơ bản?

Vào đầu thế kỷ XX, người ta tìm thấy nguyên tử là do điện tử và hạt nhân nguyên tử tạo nên. Nguyên tử đã bé nhưng hạt nhân nguyên tử lại còn bé hơn...

Tại sao có một số cây lại phát sáng?

Mùa hè, trong rừng và trên những thảm cỏ ta thường thấy những con đom đóm bay lượn phát sáng, đó là hiện tượng phát sáng sinh vật mà mọi người đều...

Điện thoại phải làm sao để bảo mật thông tin?

Trong cuộc sống hằng ngày, điện thoại là phương tiện không thể thiếu để mọi người liên hệ với nhau. Nội dung không quan trọng trong điện thoại, dù bị...