Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Ho gà có phải là ho mãi "trăm ngày" không?

Bệnh ho gà do loài khuẩn đũa ho gà gây nên. Đó là loại bệnh đường hô hấp cấp tính, trẻ em 1-6 tuổi rất dễ mắc.

Tại sao cây chè lại thích hợp trồng ở vùng có tính axit?

Vùng núi và vùng bán sơn địa của Trung Quốc đa số là vùng đất có tính axít, lá chè mà những nơi này sản xuất có chất lượng rất cao, ví dụ chè “Long...

Tại sao trên máy bay không được sử dụng điện thoại di động?

Ngày 11 tháng 7 năm 1996, chuyến bay CZ3504 của Hãng hàng không Phương Nam, Trung Quốc từ Thượng Hải bay tới Quảng Châu. Khi máy bay gần tới Quảng...

Bí mật về sự sống trên Hoả Tinh như thế nào?

Đêm trong trời sáng, có lúc ta có thể nhìn thấy một hành tinh màu đỏ trên trời, đó là Hoả Tinh. Từ xưa đến nay con người luôn hứng thú tìm hiểu trên...

Tại sao con trùng mai táng muốn chôn động vật nhỏ?

Một con chim non đã chết nằm ở bên đường, nhưng qua một ngày thì con chim chết này đột nhiên biến mất. Ai đã đưa nó đi vậy? Đó là con trùng mai táng đã chôn cất nó đấy.

Vì sao phải chế tạo và phóng vệ tinh nhỏ?

Ngày nay trên bầu trời ngày càng xuất hiện nhiều vệ tinh nhỏ, trở thành một tuyến vệ tinh mới. Vệ tinh nhỏ là chỉ những vệ tinh có khối lượng dưới 500...

Vì sao phải khống chế "ô nhiễm màu trắng"?

Nhựa là loại nguyên liệu mới, chúng có nhiều ưu điểm như: nhẹ, không thấm nước, bền và giá rẻ. Từ ngày đồ nhựa ra đời đến nay chúng được dùng rộng rãi...

Làm thế nào để tranh sơn dầu hết đen?

Phòng triển lãm trưng bày nhiều bức họa vẽ cảnh tuyết bay, khoác lên vạn vật một màu trắng sống động. Nhưng sau nhiều năm, màu tuyết xỉn dần, tranh...

Vì sao dùng ống hút có thể hút được nước giải khát?

Khi bạn dùng ống hút để uống nước giải khát, bạn có thoáng đặt câu hỏi: vì sao miệng vừa hút một cái thì nước liền theo ống hút chạy vào mồm chúng ta ngay? Điều đó chủ yếu là nhờ vào sự giúp sức của áp suất khí quyển...