Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Tại sao khi phanh ô tô nhất định phải phanh bánh sau?

Nếu có người hỏi bạn, khi phanh ô tô thì phanh bánh sau hay bánh trước. Có lẽ bạn không trả lời ngay được.

Giấy gạo nếp có phải chế tạo từ gạo nếp không?

Có nhiều loại keo, bánh ở lớp vỏ ngoài được bọc một loại giấy mờ đó là giấy gạo nếp. Giấy gạo nếp khô ngăn không cho kẹo, bánh tiếp xúc trực tiếp với...

Tại sao tàu hoả phải chạy trên đường ray thép?

Chắc chắn bạn đã từng đi tàu. Từng toa tàu nối dài với nhau một cách chỉnh tề, chạy vùn vụt trên đường ray thẳng tắp về phương xa.

Vì sao vào ngày nắng to có nhiêu người ngộ nắng?

Mùa hè, dưới ánh nắng chói chang, nếu không được che mát, lại đi bộ, vận động hoặc làm việc một thời gian dài ngoài trời, bạn có thể đột nhiên bị ngã...

Vì sao nước một số sông hồ biến thành màu đen và thối?

Trong nước phế thải hữu cơ của nước sinh hoạt và các nhà máy thực phẩm, in, nhuộm vải, sản xuất giấy chứa rất nhiều chất như mỡ, prôtein, v.v.

Vì sao nói môi trường cũng là nguồn tài nguyên quí báu?

Môi trường tự nhiên bao gồm: nước, không khí, đất đai, rừng xanh, thảo nguyên, động vật hoang dã, v.v.

Tại sao phải dùng mạng Internet?

Mạng Internet phát triển từ đất nước Mĩ, giờ đây nó đã trở thành mạng có phạm vi toàn cầu. Mạng Internet tuy là mạng máy tính lớn nhất thế giới hiện...

Tại sao giữa cần gạt của xe điện bánh hơi và đường dây điện trên không có khi tóe ra tia lửa xanh?

Trong đời sống hằng ngày, nếu quan sát tỉ mỉ ngọn lửa, chúng ta có thể phát hiện các vật cháy khác nhau sẽ phát ra ngọn lửa có màu sắc khác nhau....

Vì sao có hiện tượng lũ bùn đá?

Bạn đã xem bộ phim khoa học giáo dục “Lũ bùn đá” chưa? Cảnh tượng lũ bùn đá xuất hiện đột ngột, quả thật con người rất hiếm khi thấy: một phần bùn...