Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Tại sao loài chim lại có thể trở thành "kẻ thù" của máy bay phản lực?

Máy bay cất cánh và hạ cánh đương nhiên cần phải có sân bay. Trong quá trình xây dựng sân bay, ngoài các trang thiết bị cần thiết, còn phải chú ý một...

Vì sao động đất phần nhiều xảy ra vào ban đêm?

Động đất là hiện tượng tự nhiên, nó gây cho loài người những tổn thất cực kỳ nghiêm trọng. Một lần động đất từ cấp 7 trở lên, trong phút chốc có thể...

Tại sao táo không bay lên trời mà lại rơi xuống đất?

Mọi người đều biết rằng vào mùa thu các trái táo trên cây thường chín vàng, quả chín tự động rụng xuống đất. Các loại trái cây khác cũng vậy, chúng đều rơi xuống đất chứ không bay lên trời. Ngay cả khi bạn ném chúng lên cao...

Vì sao khi ăn cần phải nhai kỹ, nuốt chậm?

Ăn là để hấp thụ các chất dinh dưỡng, duy trì sự sống. Thức ăn vào miệng trước hết phải được răng nhai kỹ, nghiền nát, sau đó mới được nuốt xuống dạ...

Vì sao khi bị ngã từ trên cao, mèo vẫn bình yên rơi xuống đất?

Mèo có một bản lĩnh làm cho người ta hết sức kinh ngạc: khi ngã từ trên cao xuống, chẳng những nó không bị dập chết, mà còn có thể bình yên rơi xuống đất, bốn chân tiếp đất an toàn.

Tại sao tia bức xạ có thể gây giống?

Lâu nay, người ta thường chọn các biện pháp như tạp giao, chọn giống một cách hệ thống để gây giống cây trồng nông nghiệp. Mấy chục năm trở lại đây,...

Vì sao chỗ nóng nhất không phải là xích đạo?

Trên Trái Đất chỗ nào nóng nhất? Rất nhiều người cho rằng, xích đạo là nơi nóng nhất, vì khu vực xích đạo Mặt Trời chiếu sáng quanh năm. Thực ra chỗ...

Núi vòng tròn có phải là đặc sản riêng của Mặt trăng không?

Hơn 300 năm trước các nhà thiên văn thông qua kính viễn vọng lần đầu tiên nhìn thấy núi vòng tròn hay núi miệng phễu trên Mặt Trăng. Quả thật họ không...

Bạn có biết gió có khả năng phát điện không?

Mọi việc đều có tính hai mặt, gió lớn ẩn chứa sức tàn phá khủng khiếp, song nó cũng hàm chứa nguồn năng lượng rất lớn...