Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa từng bắt tay nhau”. Tháng 6-1956 một tờ nguyệt san toán của Mỹ đã chuyển mệnh đề này thành một trò chơi toán học, từ đó hai bài toán trở thành một đề toán lí thú mà người ta thường gọi là “bài toán nhóm sáu người”.

Làm thế nào chứng minh mệnh đề đó? Trước hết ta có thể sắp xếp nhóm sáu người bất kì này trên sáu điểm đỉnh khác nhau và đại diện bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, dùng các nét liền để nối các đỉnh biểu diễn là người bắt tay nhau, và dùng nét đứt để biểu diễn việc hai người chưa hề bắt tay nhau. Nhờ đó ta biểu diễn được trạng thái bắt tay (và không bắt tay nhau) của nhóm sáu người thành giản đồ. Trên hình 1 mô tả trạng thái bắt tay của sáu người.

Theo như hình 1 có bao nhiêu trạng thái? Trong mỗi quan hệ bắt tay nhau, từ mỗi điểm đỉnh có thể vẽ 5 đường thẳng nối liền với các đỉnh khác tức là 6 x 5 = 30 cạnh, nhưng trong đó có một nửa là trùng nhau. Và như vậy trạng thái bắt tay nhau có 30: 2 = 15 cạnh, mỗi cạnh lại có hai loại nét liền và nét đứt và như vậy trong mối quan hệ bắt tay nhau của sáu người có 215 tình huống khác nhau. Dưới đây ta sẽ chứng minh luận đề nêu trên.

Trước hết ta xét một điểm đỉnh như A chẳng hạn ít nhất có thể bắt tay với ba người, và ít nhất cũng có ba người không bắt tay với A. Cũng tương tự ta sẽ tìm thấy trạng thái không bắt tay của A với ba người. Trước hết ta xét tình huống 1, ít nhất có ba người bắt tay với A.

Ví dụ B, C, D chẳng hạn. Như tình huống ở hình 2 biểu diễn ít nhất có ba người B, C, D chưa bắt tay với A (đường nối là nét đứt), nếu không số người bắt tay và không bắt tay nhau sẽ nhỏ hơn 5. Trước hết ta xét tình huống 1 trong trạng thái này. A ít nhất bắt tay với ba người ví dụ với B, C, D chẳng hạn. Nếu B, C, D là ba người chưa hề bắt tay nhau (hình 2) nên đây là tình huống có người chưa hề bắt tay nhau. Nếu không, trong ba người ít nhất có hai người bắt tay nhau, ví dụ giữa C và D (hình 3) như vậy đã đáp ứng với mệnh đề ít nhất có ba người bắt tay nhau. Ta hãy xét loại tình huống thứ hai, ít nhất A chưa hề bắt tay với ba người khác, giả sử với B, C, D; bấy giờ ta chỉ cần thay nét liền thành nét đứt trên hình 2. Các chứng minh tương tự, các bạn có thể tự tiếp tục và sẽ tìm được kết luận cần thiết. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể chứng minh, trong nhóm sáu người bất kì, ít nhất có ba người bắt tay nhau hoặc ít nhất có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Người ta có thể tiến thêm một bước nữa, trong nhóm có sáu người ít nhất có ba người từng bắt tay nhau, hoặc ít nhất ba người chưa hề bắt tay nhau. Thế nhưng nếu số người ít hơn sáu thì kết luận sẽ không phù hợp. Hình 4 biểu diễn điều đó: trong nhóm sáu người không có ba người đã bắt tay nhau, cũng không có ba người chưa hề bắt tay nhau.

Thế nào là tên lửa dạng bó?

Để chiến thắng sức hút của Trái Đất, bay được vào vũ trụ, ta phải dùng tên lửa. Nhưng tên lửa đơn tầng không thể đạt được mục tiêu này.

Hiện nay thế giới chú ý đến những điều gì của vấn đề môi trường toàn cầu?

Ngày 18/11/1992, toàn thế giới có 1.575 nhà khoa học (trong đó bao gồm 99 người được giải thưởng Nobel) đã đưa ra lời cảnh báo đối với nhân dân toàn...

Tại sao thuốc diệt cỏ lại phân biệt được cỏ tạp?

Cỏ tạp là đại nạn trong sản xuất nông nghiệp. Theo thống kê, trong ngành sản xuất lương thực toàn thế giới, do hoa màu và cỏ tạp tranh nhau phân bón,...

Tại sao không nên đi xe địa hình trong thành phố?

Hiện nay, có nhiều bạn trẻ đi xe địa hình. Nhưng, nhiều người lại đi xe địa hình trong thành phố. Điều đó là không nên. Tại sao vậy?

Vì sao xây dựng sân bay trên biển?

Sân bay phần nhiều xây dựng ở ngoại ô thành phố. Ở đó đất rộng, dân cư thưa thớt, tầm nhìn bao la, hơn nữa nó gắn liền với hệ thống giao thông thành...

Có phải với thuyết topo, mặt cầu và mặt xuyến là như nhau?

Bạn thử tưởng tượng trên mặt bàn trước mặt bạn có đặt một quả bóng da và một chiếc bánh mì vòng. Một chú kiến bò qua bò lại hết sức lanh lẹn trên...

Có phải 9 hành tinh lớn sắp xếp thành chữ thập sẽ gây ra tai hoạ không?

Như ta đã biết, 9 hành tinh lớn của hệ Mặt Trời mỗi hành tinh có quỹ đạo riêng và quay quanh Mặt Trời với chu kỳ khác nhau. Có lúc Mặt Trời và 9 hành...

Thế nào là hạt cơ bản?

Vào đầu thế kỷ XX, người ta tìm thấy nguyên tử là do điện tử và hạt nhân nguyên tử tạo nên. Nguyên tử đã bé nhưng hạt nhân nguyên tử lại còn bé hơn...

Vàng, bạc có bị gỉ không?

Từ thời xa xưa, loài người đã dùng ký hiệu để biểu thị cho vàng, còn dùng ký hiệu để biểu thị cho bạc, là do vàng luôn phát ra ánh sáng vàng lấp lánh...