Liệu có thể có công thức tính số nguyên tố?

Ta đã biết số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho số 1 và chính số đó. Chúng ta còn biết là có thể nhận biết số nguyên tố qua “sàng Eratosthenes”. Thế liệu có thể biểu diễn số nguyên tố bằng một biểu thức nào đó không hoặc liệu có công thức tuy không biểu diễn được hết các số nguyên tố, nhưng các số tính theo công thức đó đều là số nguyên tố?

Nhà toán học Pháp nổi tiếng Fecma đã đưa ra công thức dự đoán cách tính một số nguyên tố. Ông đã tìm thấy số:

trong đó khi n = 0, 1, 2, 3, 4 thì F(n) tính được là một số nguyên tố.

Nhưng về sau, nhà toán học Thuỵ sĩ Ơle đã chỉ ra rằng với n = 5 thì số F(5) =225 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 là một hợp số vì vậy dự đoán Fecma bị bác bỏ. Từ đó lại có nhiều người tiếp tục đưa ra nhiều công thức qua đó có thể tính ra các số nguyên tố một cách tổng quát.

Trong lịch sử toán học, đã từng có nhiều công thức đề nghị tính số nguyên tố như:

Nhưng đáng tiếc là các công thức đưa ra dần dần đều bị bác bỏ.

Năm 1983 một người Trung Quốc đưa ra một dự đoán khác. Nếu cho p là một số lẻ thì có thể tính số nguyên tố theo p bằng công thức:

Nhưng người ta đã tìm thấy với p = 29 thì dự đoán bị bác bỏ.

Trong thời gian đó ở các nước khác cũng có người đưa ra công thức tính số nguyên tố phụ thuộc hai tham số m và n:

f(m,n) = n-1/2{[m(n+1) - (n! + 1)]2 - [m(n+1)-(n!+1)]2 + 1}+2.

Trong đó m, n là các số tự nhiên n! = 1.2.3...n đọc là n giai thừa. Người ta đã kiểm chứng được

là các số nguyên tố.

Công thức đã được chứng minh bằng lí thuyết nhờ đó có thể biểu diễn được các số nguyên tố bằng công thức nhưng công thức quá phức tạp và ít có giá trị thực tiễn.