Tam giác Pascal là gì?

Vào năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương” đã trình bày một bảng số mà các số được trình bày trên một hình tam giác (xem hình vẽ).

Theo Dương Huy bảng số này ông đã dẫn ra từ bộ sách của Giả Hiến “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng luỹ thừa và khai phương”, vì vậy tam giác này được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở Châu Âu bảng tam giác được Pascal nghiên cứu và tìm ra năm 1654, so với Giả Hiến thì chậm hơn 600 năm.

Thế nhưng tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác Giả Hiến chính là hệ số của các luỹ thừa của nhị thức a + b khi khai triển. Ví dụ”

Dựa vào bảng số tam giác này ta có thể biết

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5+ b6

Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.

Quan sát kĩ các số ở trong bảng, ta có thể nhận biết quy luật sắp xếp: Các số ở ngoài biên bao giờ cũng là 1, các số đứng giữa ở hàng dưới là tổng của hai số kèm hai bên ở hàng trên. Theo quy luật này ta có các số ở các hàng tiếp sau, và chúng ta sẽ nhận được các hệ số của các khai triển của luỹ thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.

Vậy ban đầu người ta đã lập nên bảng số như thế nào? Theo các ghi chép còn lại trong lịch sử phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “Nâng dần luỹ thừa”. Sở dĩ gọi là phương pháp nâng dần luỹ thừa vì các con số được thu nhận từ cách nâng dần luỹ thừa của nhị thức. Ví dụ để lập một “Tam giác Giả Hiến” có tám hàng trước hết ta viết bảng số dưới đây:

Theo bảng số trên ta có thể nêu lên ba quy tắc thiết lập nên bảng số: 1) Hàng thứ nhất có tám số 1; 2) Bắt đầu từ hàng thứ hai ở phía bên trái ít hơn hàng trên một con số; 3) ở mỗi hàng bắt đầu từ biên bên phải bằng 1, con số tiếp theo là tổng của con số ở bên phải với con số ở liền hàng trên (cùng cột). Ví dụ các con số ở hàng thứ hai là 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1...5, 6, 7; còn ở hàng thứ ba là 1; 3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3...

Khi quay bảng trên một góc 45o ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng là “Tam giác Giả Hiến”.

Cùng với phương pháp “Nâng dần luỹ thừa” còn có phương pháp “Khai căn dần dần” có thể giúp ta giải được các phương trình bậc cao.

Vì sao trong đêm tối, khi đi ở chỗ trống, ta thường hay quay vòng vê chỗ cũ?

Đêm tối mịt, nếu đi bộ ở chỗ trống, người ta thường hay lạc đường. Điều thú vị là phương thức lạc đường đại thể rất giống nhau: trong phạm vi nhất...

Ngày nay làm thế nào để biết được khí hậu cổ xưa?

Trái Đất ta sinh sống đã có lịch sử mấy tỉ năm, nhưng loài người dùng văn tự để ghi chép mới chỉ mấy nghìn năm.

Tại sao phải xây dựng thành phố số hoá?

Trước đây không lâu, các nước EU tuyên bố một kế hoạch rất mạnh bạo: Xây dựng ở Châu Âu 10 "thành phố số hoá" hoặc nhiều hơn, thủ đô Amsterdam của Hà...

Vì sao thuốc bảo vệ thực vật không thể khống chế có hiệu quả các loài sâu có hại?

Vì sâu hại mà trên thế giới hàng năm nhiều cánh rừng bị phá hoại và lương thực bị tổn thất nhiều. Sâu hại còn uy hiếp rất lớn đến sức khỏe của con...

Ngoài tác dụng tẩy rửa, xà phòng còn dùng làm gì?

Mức sống của người dân ngày càng cao, nhu cầu của bản thân người tiêu dùng cũng tăng theo, vì vậy ngay cả với xà phòng, các công năng cũng ngày càng...

Vì sao có giấc mộng được nhớ rõ, có giấc mộng không nhớ rõ?

Mỗi người chúng ta đều từng chiêm bao và đều có kinh nghiệm sau: sáng mai tỉnh dậy có lúc nhớ rõ những chi tiết trong chiêm bao, nhưng có lúc không...

Tại sao có thể “treo” toà nhà mấy chục tầng lên?

Nghe ra thì thật khó tin, kiến trúc cao mấy chục tầng lại có thể "treo" lên không trung như treo lồng chim sao? Nhưng toà nhà của Công ty động lực...

Tại sao cây cọ dầu được coi là "vua dầu" trên thế giới?

Khi bạn tới hòn đảo ngọc phía Nam của Trung Quốc - đảo Hải Nam, có thể thấy hai bên đường những hàng cây cao, lá giống như lá dừa nhưng không kết quả...

Vì sao phát sinh "sự kiện dầu cám"?

Năm 1968, ở Bắc Cửu, Nhật Bản, mọi người lâm vào một trận khủng hoảng vì gặp một căn bệnh quái dị chưa từng thấy. Loại bệnh này đến rất ồ ạt, bắt đầu...