Tam giác Pascal là gì?

Vào năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương” đã trình bày một bảng số mà các số được trình bày trên một hình tam giác (xem hình vẽ).

Theo Dương Huy bảng số này ông đã dẫn ra từ bộ sách của Giả Hiến “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng luỹ thừa và khai phương”, vì vậy tam giác này được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở Châu Âu bảng tam giác được Pascal nghiên cứu và tìm ra năm 1654, so với Giả Hiến thì chậm hơn 600 năm.

Thế nhưng tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác Giả Hiến chính là hệ số của các luỹ thừa của nhị thức a + b khi khai triển. Ví dụ”

Dựa vào bảng số tam giác này ta có thể biết

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5+ b6

Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.

Quan sát kĩ các số ở trong bảng, ta có thể nhận biết quy luật sắp xếp: Các số ở ngoài biên bao giờ cũng là 1, các số đứng giữa ở hàng dưới là tổng của hai số kèm hai bên ở hàng trên. Theo quy luật này ta có các số ở các hàng tiếp sau, và chúng ta sẽ nhận được các hệ số của các khai triển của luỹ thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.

Vậy ban đầu người ta đã lập nên bảng số như thế nào? Theo các ghi chép còn lại trong lịch sử phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “Nâng dần luỹ thừa”. Sở dĩ gọi là phương pháp nâng dần luỹ thừa vì các con số được thu nhận từ cách nâng dần luỹ thừa của nhị thức. Ví dụ để lập một “Tam giác Giả Hiến” có tám hàng trước hết ta viết bảng số dưới đây:

Theo bảng số trên ta có thể nêu lên ba quy tắc thiết lập nên bảng số: 1) Hàng thứ nhất có tám số 1; 2) Bắt đầu từ hàng thứ hai ở phía bên trái ít hơn hàng trên một con số; 3) ở mỗi hàng bắt đầu từ biên bên phải bằng 1, con số tiếp theo là tổng của con số ở bên phải với con số ở liền hàng trên (cùng cột). Ví dụ các con số ở hàng thứ hai là 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1...5, 6, 7; còn ở hàng thứ ba là 1; 3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3...

Khi quay bảng trên một góc 45o ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng là “Tam giác Giả Hiến”.

Cùng với phương pháp “Nâng dần luỹ thừa” còn có phương pháp “Khai căn dần dần” có thể giúp ta giải được các phương trình bậc cao.

Vì sao phải hạn chế tăng trưởng dân số?

Ngày nay, dân số tăng nhanh là một thách thức to lớn đối với loài người. Dân số tăng nhanh đưa lại hàng loạt áp lực đối với tài nguyên đất đai, tài...

Vì sao ban ngày không nhìn thấy sao?

Trong vũ trụ, tuyệt đại đa số các sao tự phát sáng và phát nhiệt, quanh năm lấp lánh. Nhưng chỉ vào xẩm tối chúng ta mới trông rõ chúng, đó là vì ban...

Vì sao dùng vệ tinh có thể thăm dò tài nguyên Trái đất?

Vệ tinh dùng để thăm dò và nghiên cứu tài nguyên Trái Đất gọi là vệ tinh tài nguyên. Nó là một loại vệ tinh ứng dụng rất quan trọng.

Thế nào là hệ thống sinh thái?

Hệ thống sinh thái là chỉ trong một thời gian nhất định, tất cả các sinh vật sống trong một không gian nhất định cùng với môi trường xung quanh nó tạo...

Truyền hình vệ tinh là gì?

Bật ti vi lên, trên màn hình hiện lên chương trình truyền hình thật là hấp dẫn. Đó là đài truyền hình phát đấy.

Có phải các ngôi sao từ trên trời rơi xuống không?

Đêm trời trong, ngửa mặt lên trời ta sẽ thấy rất nhiều sao. Khi gặp may, ngẫu nhiên bạn còn có thể nhìn thấy những vệt sao sáng lướt qua bầu trời.

Vì sao thiên văn phải dùng năm ánh sáng để tính khoảng cách?

Trong cuộc sống ta thường lấy: cm, m, km là đơn vị tính độ dài. Ví dụ một tấm kính có độ dày 1 cm, 1 người cao 1,8 m, khoảng cách giữa hai thành phố...

Về “không gian nhiều chiều” trong toán học như thế nào?

Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói đến không gian là nói đến “không gian thực”, nói đến hình thức tồn tại khách quan của sự vật xác định bằng chiều...

"Người thám hiểm Mặt trăng" đã tìm thấy nước trên mặt trăng như thế nào?

Cuối thế kỷ XX "Người thám hiểm Mặt Trăng" đã phát hiện trên Mặt Trăng có nước. Tin này đối với loài người, vui mừng như Côlômbô phát hiện ra đại lục...