Tam giác Pascal là gì?

Vào năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương” đã trình bày một bảng số mà các số được trình bày trên một hình tam giác (xem hình vẽ).

Theo Dương Huy bảng số này ông đã dẫn ra từ bộ sách của Giả Hiến “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng luỹ thừa và khai phương”, vì vậy tam giác này được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở Châu Âu bảng tam giác được Pascal nghiên cứu và tìm ra năm 1654, so với Giả Hiến thì chậm hơn 600 năm.

Thế nhưng tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác Giả Hiến chính là hệ số của các luỹ thừa của nhị thức a + b khi khai triển. Ví dụ”

Dựa vào bảng số tam giác này ta có thể biết

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5+ b6

Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.

Quan sát kĩ các số ở trong bảng, ta có thể nhận biết quy luật sắp xếp: Các số ở ngoài biên bao giờ cũng là 1, các số đứng giữa ở hàng dưới là tổng của hai số kèm hai bên ở hàng trên. Theo quy luật này ta có các số ở các hàng tiếp sau, và chúng ta sẽ nhận được các hệ số của các khai triển của luỹ thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.

Vậy ban đầu người ta đã lập nên bảng số như thế nào? Theo các ghi chép còn lại trong lịch sử phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “Nâng dần luỹ thừa”. Sở dĩ gọi là phương pháp nâng dần luỹ thừa vì các con số được thu nhận từ cách nâng dần luỹ thừa của nhị thức. Ví dụ để lập một “Tam giác Giả Hiến” có tám hàng trước hết ta viết bảng số dưới đây:

Theo bảng số trên ta có thể nêu lên ba quy tắc thiết lập nên bảng số: 1) Hàng thứ nhất có tám số 1; 2) Bắt đầu từ hàng thứ hai ở phía bên trái ít hơn hàng trên một con số; 3) ở mỗi hàng bắt đầu từ biên bên phải bằng 1, con số tiếp theo là tổng của con số ở bên phải với con số ở liền hàng trên (cùng cột). Ví dụ các con số ở hàng thứ hai là 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1...5, 6, 7; còn ở hàng thứ ba là 1; 3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3...

Khi quay bảng trên một góc 45o ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng là “Tam giác Giả Hiến”.

Cùng với phương pháp “Nâng dần luỹ thừa” còn có phương pháp “Khai căn dần dần” có thể giúp ta giải được các phương trình bậc cao.

Vì sao phải chế tạo và phóng vệ tinh nhỏ?

Ngày nay trên bầu trời ngày càng xuất hiện nhiều vệ tinh nhỏ, trở thành một tuyến vệ tinh mới. Vệ tinh nhỏ là chỉ những vệ tinh có khối lượng dưới 500...

Tại sao khi xây dựng những toà nhà cao to cần phải đóng cọc thật sâu?

Trên công trường xây dựng, chúng ta thường thấy những máy đóng cọc rất cao dùng búa hơi bằng sắt rất nặng "thình thịch, thình thịch" đóng các cọc bê...

Tại sao máy tính có thể chuyển fax?

Facsimile (fax) là truyền tải hình ảnh thật. Nó dùng máy fax để truyền tải tới đối phương những tư liệu tin tức, hồ sơ thương mại, văn kiện, ảnh chụp...

Vì sao trên bầu trời, sao Bắc cực giống như bất động?

Những người hay quan sát bầu trời đều thấy có một ngôi sao Bắc Cực rất to. Tìm được sao Bắc Cực thì các hướng đông, tây, nam, bắc sẽ dễ dàng xác định,...

Gió thổi như thế nào?

Cờ bay trong gió, thuyền buồm chạy băng băng, mặt nước dập dềnh, sóng vỗ ẩm ẩm,..

Tại sao những cây tùng sống trên núi Hoàng Sơn trông đặc biệt kì lạ?

"Hoàng Sơn đa kì tùng” là câu đã được nghe tiếng từ lâu. Tại sao kì tùng có nhiều trên núi Hoàng Sơn.

Tại sao các xe khách cao tốc sử dụng rộng rãi lốp không săm

Đi đôi với xu hướng ngày càng cao tốc hoá giao thông ở các thành phố, đường cao tốc trong các thành phố và nối liền giữa các thành phố với nhau ngày...

Tại sao hoa Ngu Mỹ Nhân được coi là tuyệt sắc giai nhân?

Ngu Mỹ Nhân là thảo mộc sống 1 2 năm, thân thẳng, phân cành tơ nhỏ, thân cao 30 - 90 cm. Lá hỗ sinh, mùa hè nở hoa, hoa bao hình vát tròn, mọc đơn ở...

Trên mặt trăng có thể nhảy cao hơn trên trái đất bao nhiêu?

Giả sử rằng vận động viên giỏi nhất có thể nhảy qua mức xà 2,42 mét. Con số này chưa phải là lớn lắm, nhưng chúng ta chỉ có thể tăng kỷ lục lên một...