Tam giác Pascal là gì?

Vào năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương” đã trình bày một bảng số mà các số được trình bày trên một hình tam giác (xem hình vẽ).

Theo Dương Huy bảng số này ông đã dẫn ra từ bộ sách của Giả Hiến “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng luỹ thừa và khai phương”, vì vậy tam giác này được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở Châu Âu bảng tam giác được Pascal nghiên cứu và tìm ra năm 1654, so với Giả Hiến thì chậm hơn 600 năm.

Thế nhưng tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác Giả Hiến chính là hệ số của các luỹ thừa của nhị thức a + b khi khai triển. Ví dụ”

Dựa vào bảng số tam giác này ta có thể biết

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5+ b6

Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.

Quan sát kĩ các số ở trong bảng, ta có thể nhận biết quy luật sắp xếp: Các số ở ngoài biên bao giờ cũng là 1, các số đứng giữa ở hàng dưới là tổng của hai số kèm hai bên ở hàng trên. Theo quy luật này ta có các số ở các hàng tiếp sau, và chúng ta sẽ nhận được các hệ số của các khai triển của luỹ thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.

Vậy ban đầu người ta đã lập nên bảng số như thế nào? Theo các ghi chép còn lại trong lịch sử phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “Nâng dần luỹ thừa”. Sở dĩ gọi là phương pháp nâng dần luỹ thừa vì các con số được thu nhận từ cách nâng dần luỹ thừa của nhị thức. Ví dụ để lập một “Tam giác Giả Hiến” có tám hàng trước hết ta viết bảng số dưới đây:

Theo bảng số trên ta có thể nêu lên ba quy tắc thiết lập nên bảng số: 1) Hàng thứ nhất có tám số 1; 2) Bắt đầu từ hàng thứ hai ở phía bên trái ít hơn hàng trên một con số; 3) ở mỗi hàng bắt đầu từ biên bên phải bằng 1, con số tiếp theo là tổng của con số ở bên phải với con số ở liền hàng trên (cùng cột). Ví dụ các con số ở hàng thứ hai là 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1...5, 6, 7; còn ở hàng thứ ba là 1; 3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3...

Khi quay bảng trên một góc 45o ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng là “Tam giác Giả Hiến”.

Cùng với phương pháp “Nâng dần luỹ thừa” còn có phương pháp “Khai căn dần dần” có thể giúp ta giải được các phương trình bậc cao.

Tại sao cần phải bảo vệ các kiến trúc cổ của thành phố?

Kiến trúc cổ của thành phố là một tài sản vô giá, một loại biểu trưng, một giai đoạn lịch sử, nó ghi lại bối cảnh văn hoá và sự uyên thâm về tinh thần...

Vì sao việc ăn lương thực tạp lại có ích cho sức khỏe?

Người phương Nam một ngày ăn ba bữa, hầu như đều bằng cơm, còn người phương Bắc lại lấy bột mì làm lương thực chính. Nhưng các nhà dinh dưỡng học lại...

Tại sao nước làm tắt lửa?

Nước được dùng để dập lửa trong hầu hết các vụ hỏa hoạn. Vấn đề tuy đơn giản, nhưng không phải ai cũng có đáp án chính xác cho câu hỏi này...

Ở vùng Nam Cực, Bắc Cực có cây sống không?

Trên Trái Đất, vùng cách xích đạo về phía Nam 66,5o trở đi là vùng Nam Cực, cách xích đạo về phía Bắc 66,5o trở đi là vùng Bắc Cực. Nam Cực là một...

Côn trùng có "mũi" và "tai" không?

Mùa xuân, mùa hoa đào nở, trăm hoa đua sắc, ong bướm bay lượn, nhiều côn trùng đang lấy mật truyền phấn trong những lùm hoa, thật là một cảnh tượng tấp nập. Ong và bướm có thể ngửi được mùi hoa của các loại hoa quả, lẽ nào chúng cũng có "mũi" sao?

Tại sao rau hẹ cắt xong vẫn có thể tái sinh trưởng?

Rau hẹ là một loại rau đặc sản của Trung Quốc. Đặc điểm lớn nhất của rau hẹ là một năm có thể cắt mấy lần, cho nên thời gian cung ứng cho thị trường...

Sương muối hình thành như thế nào?

Những đêm giá rét, bẩu trời đẩy trăng sao, không hề có gió lay động những ngọn lá. Sáng dậy ra ngoài cửa thấy khắp trên các ngọn cỏ, mái nhà, thậm chí...

Cá có đánh rắm không?

Vấn đề này thật là lạ, dường như tất cả mọi người đều trả lời rằng: "Không", nhưng sự thực lại ngược lại...

Chim, nỗi kinh hoàng của... máy bay phản lực

Ngày 04/10/1960, chiếc máy bay tua bin phản lực chở khách của Mỹ sau khi cất cánh từ Boston không lâu thì đột nhiên 3 trong số 4 động cơ bị hỏng, phi...