Tam giác Pascal là gì?

Vào năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương” đã trình bày một bảng số mà các số được trình bày trên một hình tam giác (xem hình vẽ).

Theo Dương Huy bảng số này ông đã dẫn ra từ bộ sách của Giả Hiến “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng luỹ thừa và khai phương”, vì vậy tam giác này được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở Châu Âu bảng tam giác được Pascal nghiên cứu và tìm ra năm 1654, so với Giả Hiến thì chậm hơn 600 năm.

Thế nhưng tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác Giả Hiến chính là hệ số của các luỹ thừa của nhị thức a + b khi khai triển. Ví dụ”

Dựa vào bảng số tam giác này ta có thể biết

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5+ b6

Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.

Quan sát kĩ các số ở trong bảng, ta có thể nhận biết quy luật sắp xếp: Các số ở ngoài biên bao giờ cũng là 1, các số đứng giữa ở hàng dưới là tổng của hai số kèm hai bên ở hàng trên. Theo quy luật này ta có các số ở các hàng tiếp sau, và chúng ta sẽ nhận được các hệ số của các khai triển của luỹ thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.

Vậy ban đầu người ta đã lập nên bảng số như thế nào? Theo các ghi chép còn lại trong lịch sử phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “Nâng dần luỹ thừa”. Sở dĩ gọi là phương pháp nâng dần luỹ thừa vì các con số được thu nhận từ cách nâng dần luỹ thừa của nhị thức. Ví dụ để lập một “Tam giác Giả Hiến” có tám hàng trước hết ta viết bảng số dưới đây:

Theo bảng số trên ta có thể nêu lên ba quy tắc thiết lập nên bảng số: 1) Hàng thứ nhất có tám số 1; 2) Bắt đầu từ hàng thứ hai ở phía bên trái ít hơn hàng trên một con số; 3) ở mỗi hàng bắt đầu từ biên bên phải bằng 1, con số tiếp theo là tổng của con số ở bên phải với con số ở liền hàng trên (cùng cột). Ví dụ các con số ở hàng thứ hai là 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1...5, 6, 7; còn ở hàng thứ ba là 1; 3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3...

Khi quay bảng trên một góc 45o ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng là “Tam giác Giả Hiến”.

Cùng với phương pháp “Nâng dần luỹ thừa” còn có phương pháp “Khai căn dần dần” có thể giúp ta giải được các phương trình bậc cao.

Vì sao phải xây dựng phòng bảo ôn nhân tạo?

Cây cối không biết nói, cũng không biết đi, chúng sống trong thiên nhiên, chỉ có thể dùng sự sinh trưởng tốt hay xấu, sản lượng thấp hay cao để biểu...

Vì sao vệ tinh tài nguyên có thể trinh sát tài nguyên?

Đầu thập kỷ 60 của thế kỷ XX, Liên Xô đã bí mật chở tên lửa sang Cu Ba, không ngờ bị tình báo Mỹ phát hiện. Ai là điệp viên trong vụ này? Đó không...

Tại sao quả trứng gà có một đầu to một đầu nhỏ?

Mỗi một người đều đã từng ăn trứng gà, cũng rất quen thuộc với trứng gà, hình dáng của quả trứng giống như một hình bầu dục có hai đầu không cân bằng, nhưng tại sao hai đầu của trứng gà lại một đầu to một đầu nhỏ vậy nhỉ?

Các kinh, vĩ độ trên Trái Đất được xác định như thế nào?

Mở một trang bản đồ hoặc quay quả Địa Cầu đặt bàn, bạn sẽ thấy trên đó có những đường vạch ngang dọc rất quy chuẩn. Có đường là thẳng, có đường cong,...

Sâu đậu tằm chui vào trong hạt đậu bằng cách nào?

Trong kho lương thực, khi chúng ta bóc vỏ ngoài của một hạt đậu tằm, đôi khi có thể phát hiện ra vô số ấu trùng của sâu đậu tằm, đục nửa hạt đậu thành một hốc tròn nhỏ, còn vỏ của đậu tằm lại vẫn nguyên vẹn không xây xước.

Tại sao trước khi thiết kế công trình cần phải tiến hành thăm dò địa chất?

Thiết kế một công trình kiến trúc, dù là kiến trúc loại nhỏ một, hai tầng hay toà nhà mấy chục tầng, đều phải tính toán trọng lượng chung của công...

Vì sao mắt cận thị lại phải đeo kính?

Xung quanh bạn có ai bị cận thi không? Bạn chú ý tới mắt kính của chứ? Có phải thoạt nhìn bạn sẽ thấy mắt kính của họ có vẻ như dầy hơn mắt kính thông thường.

Trên thế giới có mấy loại tinh tinh?

Mọi người đều biết, động vật có quan hệ mật thiết nhất với loài người là loài vượn người, nó bao gồm cả vượn tay dài và 3 loài tinh tinh, tức là hồng...

Khi phía trước có thức ăn và có cả sự nguy hiểm thì mèo sẽ hành động ra sao?

Nó sẽ có những hành động mang tính mâu thuẫn như lùi về phía sau rồi lại tiến lên phía trước.