Có thể vẽ được mọi đường cong không?

Vào những đêm mùa hè, chúng ta thường thấy các ngôi sao băng trên bầu trời sao. Các ngôi sao băng dịch chuyển trên bầu trời dưới dạng các đường cong. Nếu bạn đốt một nén hương trừ muỗi (tốt nhất vào ban đêm) rồi di động, đốm lửa ở đầu nén hương sẽ vẽ thành đường cong giống như sao băng. Chính từ gợi ý này mà các nhà toán học đã nghĩ ra phương pháp “vẽ bằng điểm” để vẽ các đường cong. Đường tròn, đường parabôn, đường hypecbôn, đường hình sin v.v... đều được vẽ theo phương pháp vẽ điểm.

Thế nhưng liệu có phải mọi đường cong phẳng đều có thể được vẽ bằng phương pháp vẽ điểm? Tiến thêm một bước có thể đặt câu hỏi liệu có thể có các đường cong phẳng nhất định cần phải được vẽ ra không?

Đến đây ta lại cần phải định nghĩa về đường cong phẳng. Thực ra từ năm 1893, nhà toán học Pháp Giocđan (Jordan) đã đưa ra định nghĩa rõ ràng về đường cong mà trước đó các nhà toán học chưa hề đưa ra định nghĩa chính thức về đường cong. Đường cong là một khái niệm mà hình học sử dụng như một khái niệm ban đầu. Trong khái niệm ban đầu này, đường cong là đường được vẽ ra chỉ có độ dài mà không có bề rộng, và một đường được tự nhiên vẽ ra sẽ là một loại đường cong.

Từ sau khi có định nghĩa rõ ràng về đường cong, tuỳ theo sự phát triển của toán học, đặc biệt với sự phát triển của các ngành hình học vi phân, tôpô học, khái niệm đường cong ngày càng được mở rộng. Việc vẽ được hay không vẽ được không còn là tiêu chuẩn để phân biệt các đường cong. Các nhà toán học thực sự đã nghĩ ra không ít loại đường cong không thể vẽ ra được. Ví dụ nhà toán học Ba Lan Serfinski đã đưa ra định nghĩa “thảm Serfinski” là một loại đường cong phẳng. Serfinski đã làm như sau:

Chọn một hình vuông A chia thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau sau đó khoét bỏ hình vuông ở giữa như ở hình 1. Sau đó lại tiếp tục chia 8 hình vuông ở ngoài biên này (người ta gọi chúng là hình vuông cấp một), mỗi hình vuông thành 9 hình vuông nhỏ khác bằng nhau, sau đó

lại khoét bỏ hình vuông nhỏ ở giữa (hình 2) và nhận được 82 = 64 hình vuông bao ngoài biên (ta gọi chúng là các hình vuông cấp hai). Sau đó lại tiếp tục chia các hình vuông cấp hai theo phương pháp tương tự như đã mô tả ở trên, ta sẽ được 83 = 512 hình vuông bao quanh khác (ta gọi đó là các hình vuông cấp ba) (hình 3). Tiếp tục quá trình như vừa mô tả đến vô hạn lần, cuối cùng hình vuông chỉ còn lại tập hợp các điểm C được gọi là “Thảm Serfinski”. “Tấm thảm” này phù hợp với định nghĩa một đường cong phẳng. Đường cong phẳng loại này rõ ràng khác với đường cong phẳng thông thường khác, đường cong loại này không vẽ được bằng phương pháp vẽ điểm. Loại đường cong phẳng này có tác dụng quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm vẽ đường cong.

Vì sao khi bị ngã từ trên cao, mèo vẫn bình yên rơi xuống đất?

Mèo có một bản lĩnh làm cho người ta hết sức kinh ngạc: khi ngã từ trên cao xuống, chẳng những nó không bị dập chết, mà còn có thể bình yên rơi xuống đất, bốn chân tiếp đất an toàn.

Vì sao đàn ông lấy vợ?

Tại sao và điều gì khiến cho một anh chàng tự do lông bông và vui thú, bỗng nhiên chui tọt “vào lồng”? Tại sao, tại sao thế?

Điện thoại phải làm sao để bảo mật thông tin?

Trong cuộc sống hằng ngày, điện thoại là phương tiện không thể thiếu để mọi người liên hệ với nhau. Nội dung không quan trọng trong điện thoại, dù bị...

Tại sao nói dơi là loài gieo hạt lí tưởng nhất?

Các nhà khoa học khi khảo sát các động vật gieo hạt ở vùng nhiệt đới đã phát hiện thấy không chỉ có loài chim và dơi, còn có loài cua dừa, loài cá ăn quả, rùa cát và một số loài động vật có vú khác.

Tại sao lá dừa thường mọc tập trung ở trên đỉnh ngọn cây?

Cây dừa là tượng trưng của thực vật nhiệt đới, chúng sinh trưởng ở vùng ven biển, cao to thẳng đứng, trên ngọn mọc thành bụi những lá kép dạng lớn,...

Vì sao lớp chống tạo màng mờ trên kính đeo mắt lại chống được sự tạo màng mờ?

Vào mùa đông, khi đeo kính bước từ ngoài trời vào phòng ấm, trên đôi mắt kính lập tức hình thành lớp màng mờ như màng sương. Nếu bôi lên đôi mắt kính...

Các loại đèn chớp sáng cũ và mới có gì khác nhau?

Hơn nửa thế kỷ trước, các phóng viên, ký giả thường dùng các loại đèn chớp sáng (đèn flash), nghe một tiếng "tách" là phát ra tia chớp sáng loé mắt....

Vì sao phải cảnh giác với ngộ độc thiếc?

Thiếc là kim loại được dùng rất rộng rãi. Mặt trong đồ hộp thực phẩm có thiếc.

Vì sao sáng sớm mùa thu và mùa đông thường có sương mù?

Không khí chứa hơi nước có giới hạn nhất định, đạt đến giới hạn lớn nhất gọi là hơi nước bão hòa. Nhiệt độ không khí càng cao, khả năng chứa hơi nước...