Có thể vẽ được mọi đường cong không?

Vào những đêm mùa hè, chúng ta thường thấy các ngôi sao băng trên bầu trời sao. Các ngôi sao băng dịch chuyển trên bầu trời dưới dạng các đường cong. Nếu bạn đốt một nén hương trừ muỗi (tốt nhất vào ban đêm) rồi di động, đốm lửa ở đầu nén hương sẽ vẽ thành đường cong giống như sao băng. Chính từ gợi ý này mà các nhà toán học đã nghĩ ra phương pháp “vẽ bằng điểm” để vẽ các đường cong. Đường tròn, đường parabôn, đường hypecbôn, đường hình sin v.v... đều được vẽ theo phương pháp vẽ điểm.

Thế nhưng liệu có phải mọi đường cong phẳng đều có thể được vẽ bằng phương pháp vẽ điểm? Tiến thêm một bước có thể đặt câu hỏi liệu có thể có các đường cong phẳng nhất định cần phải được vẽ ra không?

Đến đây ta lại cần phải định nghĩa về đường cong phẳng. Thực ra từ năm 1893, nhà toán học Pháp Giocđan (Jordan) đã đưa ra định nghĩa rõ ràng về đường cong mà trước đó các nhà toán học chưa hề đưa ra định nghĩa chính thức về đường cong. Đường cong là một khái niệm mà hình học sử dụng như một khái niệm ban đầu. Trong khái niệm ban đầu này, đường cong là đường được vẽ ra chỉ có độ dài mà không có bề rộng, và một đường được tự nhiên vẽ ra sẽ là một loại đường cong.

Từ sau khi có định nghĩa rõ ràng về đường cong, tuỳ theo sự phát triển của toán học, đặc biệt với sự phát triển của các ngành hình học vi phân, tôpô học, khái niệm đường cong ngày càng được mở rộng. Việc vẽ được hay không vẽ được không còn là tiêu chuẩn để phân biệt các đường cong. Các nhà toán học thực sự đã nghĩ ra không ít loại đường cong không thể vẽ ra được. Ví dụ nhà toán học Ba Lan Serfinski đã đưa ra định nghĩa “thảm Serfinski” là một loại đường cong phẳng. Serfinski đã làm như sau:

Chọn một hình vuông A chia thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau sau đó khoét bỏ hình vuông ở giữa như ở hình 1. Sau đó lại tiếp tục chia 8 hình vuông ở ngoài biên này (người ta gọi chúng là hình vuông cấp một), mỗi hình vuông thành 9 hình vuông nhỏ khác bằng nhau, sau đó

lại khoét bỏ hình vuông nhỏ ở giữa (hình 2) và nhận được 82 = 64 hình vuông bao ngoài biên (ta gọi chúng là các hình vuông cấp hai). Sau đó lại tiếp tục chia các hình vuông cấp hai theo phương pháp tương tự như đã mô tả ở trên, ta sẽ được 83 = 512 hình vuông bao quanh khác (ta gọi đó là các hình vuông cấp ba) (hình 3). Tiếp tục quá trình như vừa mô tả đến vô hạn lần, cuối cùng hình vuông chỉ còn lại tập hợp các điểm C được gọi là “Thảm Serfinski”. “Tấm thảm” này phù hợp với định nghĩa một đường cong phẳng. Đường cong phẳng loại này rõ ràng khác với đường cong phẳng thông thường khác, đường cong loại này không vẽ được bằng phương pháp vẽ điểm. Loại đường cong phẳng này có tác dụng quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm vẽ đường cong.

Trái đất nặng bao nhiêu?

Trọng lượng của cùng một vật thể, đặt ở Mặt trăng sẽ nhẹ hơn so với Trái đất tới 6 lẩn. Các vật có trọng lượng là do lực hút Trái đất mà sinh ra.

Tại sao khi đi xe đạp, xe không bị đổ?

Trong đời sống, chúng ta đều có kinh nghiệm như thế này: Một vật thể cần phải có ba điểm tựa mới có thể bình ổn chẳng hạn như máy chụp ảnh có giá ba...

Vì sao khi máy bay cất cánh hoặc hạ cánh, thính lực của hành khách biến đổi?

Những người từng đi máy bay thường có cảm giác sau: khi máy bay cất cánh và hạ cánh, lỗ tai như có vật gì nút chặt, những âm thanh chung quanh trở nên...

Tại sao nòng pháo càng dài, đầu nòng càng to, đạn bắn càng xa?

Có rất nhiều loại pháo đại bác, uy lực và tầm bắn của các loại đại bác khác nhau, ngay cả trọng lượng của viên đạn cũng không giống nhau.

Tại sao lạc đà được gọi là "chiếc thuyền của sa mạc"

Trong các loài động vật, động vật chịu vất vả giỏi nhất phải kể đến lạc đà. Một con lạc đà có thể thồ được 200 kg hàng, hằng ngày đi được 40 km và có...

Ung thư là gì?

Trong số những bệnh nguy hại nhất, phải kể đến ung thư. Con người lo sợ bệnh này đến mức hễ nói

Tại sao nói san hô là động vật?

Mọi người thường cho rằng san hô là đá quý và hình dung nó là một khoáng vật. Do rất nhiều san hô thiên nhiên chưa được gia công đều có hình cành cây nên từ xưa đến nay rất nhiều người lại cho rằng san hô là thực vật...

Con người tách rời thực vật tại sao không thể sinh tồn được?

Thực vật có mặt ở khắp nơi trên Trái Đất, bạn có lẽ sẽ cảm thấy điều đó là lẽ thường tình, tuy nhiên bạn đã bao giờ nghĩ nếu không có thế giới xanh...

Vì sao trong vũ trụ lại có hiện tượng mất trọng lượng?

Mọi vật trên Trái Đất đều chịu sức hút của Trái Đất. Đó gọi là trọng lực.