Có thể vẽ được mọi đường cong không?

Vào những đêm mùa hè, chúng ta thường thấy các ngôi sao băng trên bầu trời sao. Các ngôi sao băng dịch chuyển trên bầu trời dưới dạng các đường cong. Nếu bạn đốt một nén hương trừ muỗi (tốt nhất vào ban đêm) rồi di động, đốm lửa ở đầu nén hương sẽ vẽ thành đường cong giống như sao băng. Chính từ gợi ý này mà các nhà toán học đã nghĩ ra phương pháp “vẽ bằng điểm” để vẽ các đường cong. Đường tròn, đường parabôn, đường hypecbôn, đường hình sin v.v... đều được vẽ theo phương pháp vẽ điểm.

Thế nhưng liệu có phải mọi đường cong phẳng đều có thể được vẽ bằng phương pháp vẽ điểm? Tiến thêm một bước có thể đặt câu hỏi liệu có thể có các đường cong phẳng nhất định cần phải được vẽ ra không?

Đến đây ta lại cần phải định nghĩa về đường cong phẳng. Thực ra từ năm 1893, nhà toán học Pháp Giocđan (Jordan) đã đưa ra định nghĩa rõ ràng về đường cong mà trước đó các nhà toán học chưa hề đưa ra định nghĩa chính thức về đường cong. Đường cong là một khái niệm mà hình học sử dụng như một khái niệm ban đầu. Trong khái niệm ban đầu này, đường cong là đường được vẽ ra chỉ có độ dài mà không có bề rộng, và một đường được tự nhiên vẽ ra sẽ là một loại đường cong.

Từ sau khi có định nghĩa rõ ràng về đường cong, tuỳ theo sự phát triển của toán học, đặc biệt với sự phát triển của các ngành hình học vi phân, tôpô học, khái niệm đường cong ngày càng được mở rộng. Việc vẽ được hay không vẽ được không còn là tiêu chuẩn để phân biệt các đường cong. Các nhà toán học thực sự đã nghĩ ra không ít loại đường cong không thể vẽ ra được. Ví dụ nhà toán học Ba Lan Serfinski đã đưa ra định nghĩa “thảm Serfinski” là một loại đường cong phẳng. Serfinski đã làm như sau:

Chọn một hình vuông A chia thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau sau đó khoét bỏ hình vuông ở giữa như ở hình 1. Sau đó lại tiếp tục chia 8 hình vuông ở ngoài biên này (người ta gọi chúng là hình vuông cấp một), mỗi hình vuông thành 9 hình vuông nhỏ khác bằng nhau, sau đó

lại khoét bỏ hình vuông nhỏ ở giữa (hình 2) và nhận được 82 = 64 hình vuông bao ngoài biên (ta gọi chúng là các hình vuông cấp hai). Sau đó lại tiếp tục chia các hình vuông cấp hai theo phương pháp tương tự như đã mô tả ở trên, ta sẽ được 83 = 512 hình vuông bao quanh khác (ta gọi đó là các hình vuông cấp ba) (hình 3). Tiếp tục quá trình như vừa mô tả đến vô hạn lần, cuối cùng hình vuông chỉ còn lại tập hợp các điểm C được gọi là “Thảm Serfinski”. “Tấm thảm” này phù hợp với định nghĩa một đường cong phẳng. Đường cong phẳng loại này rõ ràng khác với đường cong phẳng thông thường khác, đường cong loại này không vẽ được bằng phương pháp vẽ điểm. Loại đường cong phẳng này có tác dụng quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm vẽ đường cong.

Máy tính gia đình vào mạng thế nào?

Ngày nay khi nói tới vào mạng, dù là chính phủ, doanh nghiệp, gia đình, hay cá nhân vào mạng thì các "mạng" này thường là chỉ mạng Internet.

Tại sao có loại ô tô không có tay lái lại có thể chuyển động hướng bình thường?

Mọi người đều biết rằng, ô tô được điều khiển chuyển hướng thông qua tay lái. Khi quay tay lái theo chiều kim đồng hồ thì ô tô quay sang phải, khi...

Có phải Ngưu-Chức mỗi năm gặp nhau một lần?

Theo truyền thuyết, hàng năm cứ đến ngày 7/7, Ngưu lang và Chức nữ lại bước qua cầu Ô Thước, bắc qua sông Ngân để gặp nhau. Không rõ họ đi kiểu gì,...

Người ta nói tiếng gì sau vài thế kỷ “chinh phạt” vũ trụ?

Nếu con người rời khỏi hành tinh này trong một chuyến thám hiểm dài hai thế kỷ, liệu hậu duệ của họ có tiếp xúc được với những người ở lại trên Trái...

Vì sao cục tuyết càng lăn xa càng to ra?

Cục tuyết càng lăn càng to thường được mọi người giải thích là dựa vào lực kết dính trong quá trình lăn. Tuyết lăn trên mặt đất sẽ dính vào và to ra.

Vì sao xuất hiện sét dạng nhánh cây hoặc dạng quả cầu?

Chập tối mùa hè, những đám mây lửa thường bị mặt đất nóng bỏng sau buổi trưa hun nóng, cộng thêm tác dụng hơi nước ngưng kết tỏa nhiệt mà phát triển...

Vì sao dấu ấn đỏ không bị nhạt màu?

Có những bức hoạ cổ hoặc do thời gian đã quá lâu, hoặc do bảo quản không tốt, màu sắc tờ giấy có thể thay đổi. Thế nhưng dấu ấn của tác giả đóng trên...

Vì sao phải thận trọng khi dùng thực phẩm màu?

Màu sắc, hương vị là những tiêu chuẩn quan trọng để phán đoán thực phẩm tốt hay xấu. Màu của thực phẩm gây cho ta cảm giác ngon lành.

Vì sao năng lượng điện hạt nhân lại có tương lai phát triển?

Hiện nay, rất nhiều quốc gia có nhà máy điện hạt nhân. Số quốc gia đang gia nhập vào danh sách này ngày càng nhiều...