Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Trên đây chúng ta vừa nghiên cứu tập hợp số thực có cơ số không phải là X0. Để đưa ra kết luận này, điểm chủ yếu là không thể sắp xếp các số thực theo bất kì thứ tự nào. Thậm chí ta không thể sắp xếp các số thực trong khoảng 0 và 1 theo thứ tự. Ta có thể dùng phản chứng để chứng minh kết luận này. Giả sử ta có thể sắp xếp các số thực từ 0 - 1 thành dãy và ghi được:

trong đó aij là số lẻ thập phân ở vị trí j, đương nhiên là aij lấy các giá trị từ 0 đến 9 là 10 số.

Giả sử ta lại chọn số y = 0, b1b2b3b4...và bi ≠ ai (việc này dễ dàng thực hiện) bởi vì chỉ cần lấy một số lẻ ở y khác với xi là ta có y ≠ xi và do đó y sẽ không thuộc nhóm số đã sắp xếp (tức nhóm xy). Từ mâu thuẫn này ta thấy không thể dùng bất kì cách nào để nhận được sự đối ứng 1 - 1 giữa các số xy với tập hợp số tự nhiên.

Cơ số của tập hợp số thực là X1. Như vậy liệu có còn cơ số nào trung gian giữa A0 và X1? Theo Canter, người sáng lập lí thuyết tập hợp không có cơ số nào khác X0 và X1ơ, nói cách khác tập hợp vô hạn các số thực chỉ có thể là X0 và X1. Đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”. (Người ta xem tập hợp số thực cũng như tập hợp các điểm trên đường thẳng là “hệ thống liên tục”, đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”).

Vấn đề hệ thống liên tục có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ngành toán học. Từ khi vấn đề hệ thống liên tục được đưa ra, nhiều nhà toán học hết sức cố gắng để chứng minh hoặc phủ định nó. Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Bordad đưa ra 23 bài toán được sự chú ý của nhiều nhà toán học đương thời, trong đó bài toán hệ thống liên tục là một trong các bài toán đó. Thế nhưng cũng giống như tiên đề song song trong hình học Euclide, các nhà toán học phát hiện không có cơ sở để bác bỏ nó, cũng không chứng minh được nó. Cho đến năm 1938, Cadel chứng minh hệ tiên đề ZF của lí thuyết tập hợp thuộc vấn đề hệ thống liên tục là không thể phủ định. 25 năm sau, Cohen lại chứng minh hệ tiên đề ZF thuộc hệ thống vấn đề liên tục là không thể chứng minh được. Thành tựu của Cadel và Cohen được xem là hai thành tựu lớn trong công tác nghiên cứu toán học của thế kỉ XX. Nó cũng bày tỏ hệ tiên đề ZF và vấn đề “hệ thống liên tục” là độc lập với nhau và biến “vấn đề liên tục” thành “giả thiết liên tục”. Cũng có nhiều nhà toán học còn chưa yên lòng với “giả thiết liên tục” và hết sức tìm các tiên đề mới để thay thế. Hiện nay mọi người đang hết sức cố gắng trong công cuộc tìm tòi đó.

Tứ đại mỹ nhân thời cổ Trung Quốc là những ai?

Lịch sử Trung Quốc có bốn người đẹp làm khuynh đảo đời sống chính trị được người đời truyền tụng có sắc đẹp khác thường gọi là Tứ đại mỹ nhân.

Vì sao thành phố Tapan Tân Cương gió đặc biệt mạnh?

Thành phố Tapan Tân Cương nằm trên trục giao thông chủ yếu giữa hai miền Nam Bắc Tân Cương, cũng là cửa gió nổi tiếng. Trong một năm có đến 148 ngày...

Vì sao trong một ngày, chiều cao của cơ thể có thay đổi?

Từ lúc sơ sinh cho đến tuổi thanh niên, chiều cao của thân thể không ngừng phát triển. Sau lứa tuổi thanh niên, chiều cao cơ bản không tăng lên nữa.

Tại sao lá dừa thường mọc tập trung ở trên đỉnh ngọn cây?

Cây dừa là tượng trưng của thực vật nhiệt đới, chúng sinh trưởng ở vùng ven biển, cao to thẳng đứng, trên ngọn mọc thành bụi những lá kép dạng lớn,...

Vì sao có một số vùng khoáng sản đặc biệt phong phú?

Trên Trái Đất, mỏ nằm dưới đất rất phong phú, nhưng sự phân bố của chúng không đồng đều. Có nhiều khoáng vật đặc biệt tập trung ở một số vùng nào đó,...

Cầy mangut có phải là khắc tinh của rắn không?

Khi một con cầy mangut gặp phải rắn hổ mang thì sẽ có một cuộc sát đấu kịch liệt xảy ra.

Tại sao cá ấn thích sống dựa vào lưng những động vật lớn ở hải dương?

Cá ấn là một loại cá biển rất thú vị, nó chu du khắp nơi trong nước, nhưng nó thường không phải tiêu hao một chút sức lực nào, mà là dựa vào sức lực của kẻ khác. Vì vậy, cá ấn đã trở thành "lữ hành gia miễn phí" nổi tiếng.

Vì sao một người cao 1,50 m có thể bị chết đuối trong hồ nước có độ sâu trung bình 1 m?

Nếu có người hỏi bạn “một người cao 1,50 m có thể bị chết đuối trong hồ sâu 1 m hay không?”. Nhất định bạn sẽ trả lời: không.

Mỗi người làm thế nào để bảo vệ môi trường?

Khí hậu ấm dần lên, lỗ thủng tầng ôzôn, mưa axit, chất thải độc hại, sinh vật hoang dã bị tiêu diệt, không khí, nguồn nước và đất đai bị ô nhiễm, v.v.