Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Trên đây chúng ta vừa nghiên cứu tập hợp số thực có cơ số không phải là X0. Để đưa ra kết luận này, điểm chủ yếu là không thể sắp xếp các số thực theo bất kì thứ tự nào. Thậm chí ta không thể sắp xếp các số thực trong khoảng 0 và 1 theo thứ tự. Ta có thể dùng phản chứng để chứng minh kết luận này. Giả sử ta có thể sắp xếp các số thực từ 0 - 1 thành dãy và ghi được:

trong đó aij là số lẻ thập phân ở vị trí j, đương nhiên là aij lấy các giá trị từ 0 đến 9 là 10 số.

Giả sử ta lại chọn số y = 0, b1b2b3b4...và bi ≠ ai (việc này dễ dàng thực hiện) bởi vì chỉ cần lấy một số lẻ ở y khác với xi là ta có y ≠ xi và do đó y sẽ không thuộc nhóm số đã sắp xếp (tức nhóm xy). Từ mâu thuẫn này ta thấy không thể dùng bất kì cách nào để nhận được sự đối ứng 1 - 1 giữa các số xy với tập hợp số tự nhiên.

Cơ số của tập hợp số thực là X1. Như vậy liệu có còn cơ số nào trung gian giữa A0 và X1? Theo Canter, người sáng lập lí thuyết tập hợp không có cơ số nào khác X0 và X1ơ, nói cách khác tập hợp vô hạn các số thực chỉ có thể là X0 và X1. Đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”. (Người ta xem tập hợp số thực cũng như tập hợp các điểm trên đường thẳng là “hệ thống liên tục”, đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”).

Vấn đề hệ thống liên tục có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ngành toán học. Từ khi vấn đề hệ thống liên tục được đưa ra, nhiều nhà toán học hết sức cố gắng để chứng minh hoặc phủ định nó. Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Bordad đưa ra 23 bài toán được sự chú ý của nhiều nhà toán học đương thời, trong đó bài toán hệ thống liên tục là một trong các bài toán đó. Thế nhưng cũng giống như tiên đề song song trong hình học Euclide, các nhà toán học phát hiện không có cơ sở để bác bỏ nó, cũng không chứng minh được nó. Cho đến năm 1938, Cadel chứng minh hệ tiên đề ZF của lí thuyết tập hợp thuộc vấn đề hệ thống liên tục là không thể phủ định. 25 năm sau, Cohen lại chứng minh hệ tiên đề ZF thuộc hệ thống vấn đề liên tục là không thể chứng minh được. Thành tựu của Cadel và Cohen được xem là hai thành tựu lớn trong công tác nghiên cứu toán học của thế kỉ XX. Nó cũng bày tỏ hệ tiên đề ZF và vấn đề “hệ thống liên tục” là độc lập với nhau và biến “vấn đề liên tục” thành “giả thiết liên tục”. Cũng có nhiều nhà toán học còn chưa yên lòng với “giả thiết liên tục” và hết sức tìm các tiên đề mới để thay thế. Hiện nay mọi người đang hết sức cố gắng trong công cuộc tìm tòi đó.

Vì sao trong số các nhà khoa học nhận giải thưởng Nobel có nhiều người là nhà toán học?

Các nhà khoa học nhận được giải thưởng Nobel thuộc nhiều lĩnh vực: Vật lí, hoá học, y học, kinh tế học v.v.

Vì sao kinh tế học hiện đại vận dụng rất nhiều kiến thức toán học?

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường gặp phải rất nhiều vấn đề về kinh tế, ví dụ, làm sao có thể mua được đồ với giá cả hợp lý nhất, làm sao có...

Thêm dấu vào các chữ số của đồng hồ để tổng đại số của các con số bằng 0?

Trong một quyển sách toán cấp hai có một bài toán khá lí thú sau đây: Trên mặt đồng hồ có 12 con số, bạn hãy đặt các dấu cộng (+) dấu trừ (-) trước...

Vì sao hồ chứa nước có thể trữ được điện?

Điện được sử dụng rất rộng rãi, nhưng chúng ta đều biết điện không thể trữ được, đây chính là một nhược điểm rất lớn của nó.

Khi nào thì ếch thích kêu nhất?

Từ góc độ tiến hoá mà nói, ếch là động vật đầu tiên dùng thanh đới phát ra tiếng kêu. Cũng giống như ở người, thanh đới của ếch cũng nằm trong xoang hầu, khi không khí đột ngột chạy vào làm chấn động thanh đới và gây ra âm thanh.

Tại sao khi xây đập nước cần phải làm mương máng cho bè gỗ và cá qua lại?

Đập nước còn được gọi là "đập lớn ngăn sông", nó cắt ngang dòng sông, khiến cho nước sông ở phía thượng lưu dồn lại thành hồ chứa nước. Mặt nước trong...

Tại sao cây xương rồng lại có nhiều thịt và gai?

Tổ tiên của loài cây xương rồng là ở Nam Mỹ và Mêhicô, chúng sống ở môi trường cực kì khắc nghiệt, khô hạn, thiếu nước, thiếu mưa, đầy cát, khí hậu...

Khi phía trước có thức ăn và có cả sự nguy hiểm thì mèo sẽ hành động ra sao?

Nó sẽ có những hành động mang tính mâu thuẫn như lùi về phía sau rồi lại tiến lên phía trước.

Tại sao trên đường cao tốc không có đèn đường?

Vào ban đêm, khi đi ô tô trên đường cao tốc, bạn sẽ thấy các ô tô chạy ở phía trước đủ màu sắc rực rỡ, những biển báo bên đường sáng lấp lánh như đèn...