Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Trên đây chúng ta vừa nghiên cứu tập hợp số thực có cơ số không phải là X0. Để đưa ra kết luận này, điểm chủ yếu là không thể sắp xếp các số thực theo bất kì thứ tự nào. Thậm chí ta không thể sắp xếp các số thực trong khoảng 0 và 1 theo thứ tự. Ta có thể dùng phản chứng để chứng minh kết luận này. Giả sử ta có thể sắp xếp các số thực từ 0 - 1 thành dãy và ghi được:

trong đó aij là số lẻ thập phân ở vị trí j, đương nhiên là aij lấy các giá trị từ 0 đến 9 là 10 số.

Giả sử ta lại chọn số y = 0, b1b2b3b4...và bi ≠ ai (việc này dễ dàng thực hiện) bởi vì chỉ cần lấy một số lẻ ở y khác với xi là ta có y ≠ xi và do đó y sẽ không thuộc nhóm số đã sắp xếp (tức nhóm xy). Từ mâu thuẫn này ta thấy không thể dùng bất kì cách nào để nhận được sự đối ứng 1 - 1 giữa các số xy với tập hợp số tự nhiên.

Cơ số của tập hợp số thực là X1. Như vậy liệu có còn cơ số nào trung gian giữa A0 và X1? Theo Canter, người sáng lập lí thuyết tập hợp không có cơ số nào khác X0 và X1ơ, nói cách khác tập hợp vô hạn các số thực chỉ có thể là X0 và X1. Đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”. (Người ta xem tập hợp số thực cũng như tập hợp các điểm trên đường thẳng là “hệ thống liên tục”, đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”).

Vấn đề hệ thống liên tục có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ngành toán học. Từ khi vấn đề hệ thống liên tục được đưa ra, nhiều nhà toán học hết sức cố gắng để chứng minh hoặc phủ định nó. Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Bordad đưa ra 23 bài toán được sự chú ý của nhiều nhà toán học đương thời, trong đó bài toán hệ thống liên tục là một trong các bài toán đó. Thế nhưng cũng giống như tiên đề song song trong hình học Euclide, các nhà toán học phát hiện không có cơ sở để bác bỏ nó, cũng không chứng minh được nó. Cho đến năm 1938, Cadel chứng minh hệ tiên đề ZF của lí thuyết tập hợp thuộc vấn đề hệ thống liên tục là không thể phủ định. 25 năm sau, Cohen lại chứng minh hệ tiên đề ZF thuộc hệ thống vấn đề liên tục là không thể chứng minh được. Thành tựu của Cadel và Cohen được xem là hai thành tựu lớn trong công tác nghiên cứu toán học của thế kỉ XX. Nó cũng bày tỏ hệ tiên đề ZF và vấn đề “hệ thống liên tục” là độc lập với nhau và biến “vấn đề liên tục” thành “giả thiết liên tục”. Cũng có nhiều nhà toán học còn chưa yên lòng với “giả thiết liên tục” và hết sức tìm các tiên đề mới để thay thế. Hiện nay mọi người đang hết sức cố gắng trong công cuộc tìm tòi đó.

Tại sao kiến trúc thơm có thể khiến tinh thần người ta thoải mái?

Kiến trúc thơm là chỉ các vật liệu cấu thành công trình kiến trúc có thể toả ra mùi thơm hoặc đặt các chậu hoa, cây cảnh hay phun vẩy hương liệu ở bên...

Vì sao gió trên mặt nước mạnh hơn trên đất liền?

Đêm mùa hè oi bức, người ta thường thích hóng mát trên bờ sông, bờ hồ hoặc trên cầu. Đó là vì ở chỗ đó không những nhiệt độ không khí thấp hơn mà gió...

Tổ yến trên bữa tiệc có phải được lấy từ tổ của chim én không?

Tổ yến không chỉ là một món ăn nổi tiếng trong các bữa tiệc, mà còn là một vị thuốc quý trong Đông y. Giá trị dinh dưỡng của nó rất cao, chứa nhiều loại axit amin, đường, muối vô cơ...

Vì sao thùng đựng dầu, phích đựng nước nóng đều có dạng hình trụ?

Thùng dầu, phích nước đều là các thùng, bình đựng chất lỏng. Bạn có chú ý các đồ đựng chất lỏng đều có dạng hình trụ, điều này có liên quan gì đến...

Bí ẩn của cây tầm gửi

Vào những ngày mùa này trong năm, những chùm cây tẩm gửi với quả trắng mọng và lá xanh mướt thường được treo lên cửa ra vào các ngôi nhà, gợi cảm hứng...

Tại sao dưới đáy biển sâu không có ánh sáng Mặt Trời vẫn có động vật sinh sống?

Mọi người đều biết, động vật sinh tồn được đều trực tiếp hoặc gián tiếp dựa vào ánh sáng của Mặt Trời.

Cất giữ lương thực không tốt tại sao phát nhiệt và thối rữa?

Lương thực và hạt giống khi cất giữ trong một thời gian nhất định cũng có sinh mệnh giống như con người, có sự hô hấp. Khi hoạt động hô hấp, hấp thụ...

Vì sao không nên tắm nắng nhiều?

Ở một số nước Âu, Mĩ, nhiều người đặc biệt thích phơi mình ở bãi biển để tắm nắng. Các cô gái còn phơi cho da biến thành màu nâu, cho đó là đẹp.

Vì sao có lúc chúng ta chỉ cần số có giá trị gần đúng?

Nếu có người hỏi bạn “năm nay bạn bao nhiêu tuổi”. Bạn trả lời “tôi 15 tuổi”.