Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Trên đây chúng ta vừa nghiên cứu tập hợp số thực có cơ số không phải là X0. Để đưa ra kết luận này, điểm chủ yếu là không thể sắp xếp các số thực theo bất kì thứ tự nào. Thậm chí ta không thể sắp xếp các số thực trong khoảng 0 và 1 theo thứ tự. Ta có thể dùng phản chứng để chứng minh kết luận này. Giả sử ta có thể sắp xếp các số thực từ 0 - 1 thành dãy và ghi được:

trong đó aij là số lẻ thập phân ở vị trí j, đương nhiên là aij lấy các giá trị từ 0 đến 9 là 10 số.

Giả sử ta lại chọn số y = 0, b1b2b3b4...và bi ≠ ai (việc này dễ dàng thực hiện) bởi vì chỉ cần lấy một số lẻ ở y khác với xi là ta có y ≠ xi và do đó y sẽ không thuộc nhóm số đã sắp xếp (tức nhóm xy). Từ mâu thuẫn này ta thấy không thể dùng bất kì cách nào để nhận được sự đối ứng 1 - 1 giữa các số xy với tập hợp số tự nhiên.

Cơ số của tập hợp số thực là X1. Như vậy liệu có còn cơ số nào trung gian giữa A0 và X1? Theo Canter, người sáng lập lí thuyết tập hợp không có cơ số nào khác X0 và X1ơ, nói cách khác tập hợp vô hạn các số thực chỉ có thể là X0 và X1. Đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”. (Người ta xem tập hợp số thực cũng như tập hợp các điểm trên đường thẳng là “hệ thống liên tục”, đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”).

Vấn đề hệ thống liên tục có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ngành toán học. Từ khi vấn đề hệ thống liên tục được đưa ra, nhiều nhà toán học hết sức cố gắng để chứng minh hoặc phủ định nó. Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Bordad đưa ra 23 bài toán được sự chú ý của nhiều nhà toán học đương thời, trong đó bài toán hệ thống liên tục là một trong các bài toán đó. Thế nhưng cũng giống như tiên đề song song trong hình học Euclide, các nhà toán học phát hiện không có cơ sở để bác bỏ nó, cũng không chứng minh được nó. Cho đến năm 1938, Cadel chứng minh hệ tiên đề ZF của lí thuyết tập hợp thuộc vấn đề hệ thống liên tục là không thể phủ định. 25 năm sau, Cohen lại chứng minh hệ tiên đề ZF thuộc hệ thống vấn đề liên tục là không thể chứng minh được. Thành tựu của Cadel và Cohen được xem là hai thành tựu lớn trong công tác nghiên cứu toán học của thế kỉ XX. Nó cũng bày tỏ hệ tiên đề ZF và vấn đề “hệ thống liên tục” là độc lập với nhau và biến “vấn đề liên tục” thành “giả thiết liên tục”. Cũng có nhiều nhà toán học còn chưa yên lòng với “giả thiết liên tục” và hết sức tìm các tiên đề mới để thay thế. Hiện nay mọi người đang hết sức cố gắng trong công cuộc tìm tòi đó.

Vì sao một số cây cổ thụ rỗng thân mà vẫn sống?

Đôi khi ta bắt gặp những thân cây cổ thụ cành lá xum xuê, nhưng thân lại "vườn không nhà trống". Điều gì đã giúp chúng sống thoải mái trong điều kiện...

Thiếp chúc Tết bắt đầu có từ bao giờ?

Ở Trung Quốc thời xưa, thiếp chúc Tết cũng được gọi là thích, là thiếp, cũng có khi gọi là môn trạng.

Vì sao qua cầu hay qua hầm chỉ cần đặt trạm thu phí một chiều?

Sông Hoàng Phố chảy qua thành phố Thượng Hải, chia Thượng hải thành hai phần là Phố Đông và Phố Tây. Vào đầu những năm 90, Trung ương quyết định phát...

Tại sao các nhà khoa học biết động vật có thể nằm mơ?

Con người biết nằm mơ, còn động vật có biết nằm mơ không? Đây là câu hỏi rất thú vị.

Ngoài tác dụng tẩy rửa, xà phòng còn dùng làm gì?

Mức sống của người dân ngày càng cao, nhu cầu của bản thân người tiêu dùng cũng tăng theo, vì vậy ngay cả với xà phòng, các công năng cũng ngày càng...

Vì sao không nên mù quáng sản xuất và sử dụng đũa dùng một lần và bút chì vỏ gỗ?

Trung Quốc có hai điều “nhất thế giới” khiến người ta chua xót, đó là sản lượng và lượng xuất khẩu đũa gỗ dùng một lần và bút chì vỏ gỗ.

Vì sao khi tuyết rơi không lạnh nhưng khi tuyết tan lại lạnh?

Vào mùa đông, nhiều vùng ở Trung Quốc thường chịu sự chiếm lĩnh của luồng không khí lạnh. Luồng không khí vừa lạnh vừa khô bắt nguồn từ phương Bắc di...

Thực chất Heli có quan hệ gì với Mặt trời?

Điều này bắt đẩu từ một lẩn nhật thực toàn phẩn xảy ra vào ngày 18 tháng 8 năm 1868. Lúc đó, một nhà khoa học người Pháp tên là Saliđến An Độ để quan...

Tại sao máy tính đã có bộ nhớ chính lại phải có phần cứng lưu trữ?

Tốc độ truy cập của bộ nhớ chính trong máy tính rất nhanh nhưng dung lượng lưu trữ lại rất nhỏ, khi nguồn điện bị cắt thì các số liệu lưu trữ cũng sẽ...