Thế nào là hiện tượng tuần hoàn trong các dãy số?

Hiện tượng tuần hoàn khá phổ biến trong một loạt các dãy số, nếu ta chú ý một chút có thể phát hiện được các chu kì tuần hoàn trong các dãy số.

Ví dụ với các luỹ thừa của các số tự nhiên với số mũ lớn hơn 5, người ta thấy có sự lặp đi lặp lại chữ số cuối. Luỹ thừa bậc 5 của 2 là 32, chữ số cuối cùng là 2, luỹ thừa bậc 5 của 3 là 243, chữ số cuối là 3; luỹ thừa bậc 5 của 7, không cần tính ta có thể dự đoán chữ số cuối là 7...

Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hoàn này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới.

Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9 mà không thể là các chữ số khác. Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số gặp số 9 thì bỏ đi và tính tổng tiếp nếu gặp số 9 lại bỏ đi đến khi còn lại số cuối cùng nhỏ hơn 9 thì giữ lại, chữ số còn lại là “số gốc” của con số đã xét. Như vậy “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng. Ví dụ “số gốc” của 135 là 9, số gốc của số 246 là 3...

Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương (bình phương của một số nào đó) hay không. Ví dụ xét xem số 98765432123456789 có phải là một chính phương hay không? Ta tìm số gốc của con số vừa đưa ra và thấy số đó có số gốc là 8 mà không phải là một trong các chữ số 1, 4, 7, 9. Vậy con số vừa nêu không phải là số chính phương.

Số gốc của một chính phương không chỉ có đặc tính vừa nêu mà còn thành lập dãy số tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là 9 chứ không phải số 0 như ở các chu kì khác. Dưới đây là một dãy làm ví dụ:

100 (bình phương của số 10) có số gốc là 1.

121 (bình phương của số 11) có số gốc là 4.

144 (bình phương của số 12) có số gốc là 9.

169 (bình phương của số 13) có số gốc là 7.

196 (bình phương của số 14) có số gốc là 7.

225 (bình phương của số 15) có số gốc là 9.

256 (bình phương của số 16) có số gốc là 4.

324 (bình phương của số 18) có số gốc là 9 (ranh giới của chu kì).

361 (bình phương của số 19) có số gốc là 1 (chu kì lặp lại).

Tính chất này của các bình phương không chỉ rất thú vị mà có giá trị thực tiễn lớn. Vận dụng linh hoạt tính chất này có thể nắm chắc được các mẹo nhỏ trong tính toán nhanh.

Vì sao không nên dùng nhiều phân hóa học?

Nông dân bón phân hóa học là để tăng thêm chất dinh dưỡng cho hoa màu, mong thu được nhiều nông sản. Nhưng lượng dùng phân hóa học phải thích hợp,...

Vì sao thôn Hứa Gia lại lưu truyền bệnh địa phương đến mười mấy vạn năm?

Gần thôn Hứa Gia, huyện Cao Dương, tỉnh Sơn Tây, Trung Quốc, năm 1976 phát hiện di chỉ người cổ cách đây mười mấy vạn năm làm chấn động dư luận. Trong...

Vì sao phải ngăn ngừa đất bị xói mòn?

Năm 1987 vùng An Lĩnh, Đại Hưng, Trung Quốc đã xảy ra hỏa hoạn cháy rừng, hủy hoại 70 vạn ha rừng, gây tổn thất to lớn. Rừng bị cháy, bị chặt phá, bị...

Vì sao có thể lợi dụng rừng để làm sạch nước thải?

Một đường ống từ Oasinhtơn thông ra rừng ngoại ô. Nước phế thải của các nhà máy đi theo đường ống này đến cánh rừng, sau đó nhiều vòi phun đặc biệt...

Vì sao mắt không sợ lạnh?

Mùa đông, nếu đi ngoài đường, ta thường bị mũi đỏ bầm, tai đau, tay tê dại, nhưng con mắt tuy lộ ra ngoài lại không cảm thấy lạnh.

Vì sao những vật nổi trên mặt nước không bị sóng đánh dạt ra ngoài?

Nguyên nhân thật đơn giản. Nước là do các phân tử cấu tạo nên. Ở những nơi mà sóng lan tới, mỗi một phân tử nước đều buộc phải vận động.

Vì sao chiêm bao?

Chiêm bao là hiện tượng sinh lý thần bí nhất, nhưng cũng phổ thông nhất. Khi chiêm bao, người ta hầu như bước vào một thế giới mới lạ.

Tại sao trên cánh của chuồn chuồn có mắt?

Chuồn chuồn là loài côn trùng mà con người thường thấy nhất. Nó có 4 cánh bằng phẳng, phần bụng dài mảnh, nhìn trông giống như một chiếc máy bay nhỏ.

“Chiến tranh lạnh” là gì?

Sau khi Chiến tranh thế giới II kết thúc, trong tình hình chính trị thế giới đã xảy ra một sự thay đổi rất lớn: phe tư bản chủ nghĩa phương Tây do các...