Thế nào là hiện tượng tuần hoàn trong các dãy số?

Hiện tượng tuần hoàn khá phổ biến trong một loạt các dãy số, nếu ta chú ý một chút có thể phát hiện được các chu kì tuần hoàn trong các dãy số.

Ví dụ với các luỹ thừa của các số tự nhiên với số mũ lớn hơn 5, người ta thấy có sự lặp đi lặp lại chữ số cuối. Luỹ thừa bậc 5 của 2 là 32, chữ số cuối cùng là 2, luỹ thừa bậc 5 của 3 là 243, chữ số cuối là 3; luỹ thừa bậc 5 của 7, không cần tính ta có thể dự đoán chữ số cuối là 7...

Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hoàn này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới.

Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9 mà không thể là các chữ số khác. Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số gặp số 9 thì bỏ đi và tính tổng tiếp nếu gặp số 9 lại bỏ đi đến khi còn lại số cuối cùng nhỏ hơn 9 thì giữ lại, chữ số còn lại là “số gốc” của con số đã xét. Như vậy “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng. Ví dụ “số gốc” của 135 là 9, số gốc của số 246 là 3...

Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương (bình phương của một số nào đó) hay không. Ví dụ xét xem số 98765432123456789 có phải là một chính phương hay không? Ta tìm số gốc của con số vừa đưa ra và thấy số đó có số gốc là 8 mà không phải là một trong các chữ số 1, 4, 7, 9. Vậy con số vừa nêu không phải là số chính phương.

Số gốc của một chính phương không chỉ có đặc tính vừa nêu mà còn thành lập dãy số tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là 9 chứ không phải số 0 như ở các chu kì khác. Dưới đây là một dãy làm ví dụ:

100 (bình phương của số 10) có số gốc là 1.

121 (bình phương của số 11) có số gốc là 4.

144 (bình phương của số 12) có số gốc là 9.

169 (bình phương của số 13) có số gốc là 7.

196 (bình phương của số 14) có số gốc là 7.

225 (bình phương của số 15) có số gốc là 9.

256 (bình phương của số 16) có số gốc là 4.

324 (bình phương của số 18) có số gốc là 9 (ranh giới của chu kì).

361 (bình phương của số 19) có số gốc là 1 (chu kì lặp lại).

Tính chất này của các bình phương không chỉ rất thú vị mà có giá trị thực tiễn lớn. Vận dụng linh hoạt tính chất này có thể nắm chắc được các mẹo nhỏ trong tính toán nhanh.

Máy tính có thể chứng minh định lí được không?

Khi học môn toán, mọi người đều đã đụng tới vấn đề "chứng minh định lí". Chứng minh định lí có thể nói là một quá trình suy luận lôgic điển hình.

Tại sao cây hướng dương lại có hạt lép?

Đóa hoa to trên đỉnh cây hướng dương là do hàng nghìn những bông hoa nhỏ tạo thành. Mỗi một bông hoa nhỏ kết thành một hạt (trên thực tế là quả) cho...

Vì sao nói đảo Hải Nam vốn liền với đại lục?

Hải Nam là đảo lớn thứ hai của Trung Quốc. Nó nằm trên nền lục địa phía bắc biển Đông, bờ bắc cách eo biển Quỳnh Châu và nhìn sang bán đảo Lôi Châu...

Cánh của máy bay có hình gì? Tại sao phải làm như vậy?

Bay lượn trong khoảng không vốn là mơ ước của loài người. Trong hàng ngàn năm qua, nhân loại đã sáng tạo nên nhiều khí cụ bay như chiếc diều, khí cầu v.v...

Mỗi mẫu sẽ thu hoạch được bao nhiêu lương thực?

Tục ngữ có câu: “Có thực mới vực được đạo”. “Thực” ở đây chủ yếu là bắt nguồn từ cây lương thực như thóc, mì.

Vì sao sau khi thuộc da, da trở nên mềm và bền?

Da thuộc là sản phẩm thu được sau khi tiến hành xử lý - thuộc da - da các động vật như trâu, bò, dê, lợn. Da động vật sống thường có chứa nhiều loại...

Vì sao những hôm trời sáng lại có sương?

Sương bốn mùa đều có, chẳng qua mùa đông đặc biệt nhiều mà thôi. Sáng sớm chỉ cần bạn nhìn vào ngọn lúa trên đồng, bãi cỏ bên đường sẽ phát hiện thấy...

Tại sao khi mỗi độ thu về thì lá cây xanh lại ngả màu vàng và rơi rụng?

Xưa nay vẫn cho rằng vì mùa thu khô ráo dẫn đến lá bị mất nước. Nhưng các nhà khoa học mới đây phát hiện ra rằng: sự biến màu của các lá cây có quan...

Tại sao cây có loài một lá mầm, có loài hai lá mầm?

Nếu bạn gieo 10 hạt lúa mì và 10 hạt đậu côve vào trong hai bình đựng đất, sau đó chăm sóc với lượng nước, nhiệt độ và khí oxi thích hợp thì những hạt...