Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể người ta thường thấy các khối đa diện đặc thù: các mặt của tinh thể là những đa diện đều, mọi góc của đa diện đều hoàn toàn bằng nhau. Đó chính là các khối đa diện đều. Có rất nhiều khối đa diện đều, nhưng thực ra chúng được xếp thành năm loại. Tại sao vậy?

Trước hết chúng tôi xin giới thiệu công thức Ơle. Vào thế kỉ XVII, nhà toán học kiệt xuất Thuỵ Sĩ Ơle đã chỉ ra mối quan hệ ràng buộc giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của khối đa diện nói chung. Ông nêu ra hệ thức giải tích

trong đó, E là số cạnh, F là số mặt, V là số đỉnh của khối đa diện.

Trong toán học người ta gọi là công thức Ơle để ghi nhớ công lao của ông. Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng công thức Ơle để chứng minh chỉ có năm loại khối đa diện.

Giả sử khối đa diện đều được hình thành từ các mặt, mỗi mặt có m cạnh, số mặt của khối đa diện là F, thế thì F mặt sẽ có mF cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt lân cận, vì vậy mF = 2E.

Giả sử mỗi đa diện đều có các đỉnh mà mỗi đỉnh lại là đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nếu khối đa diện có V đỉnh sẽ có nV cạnh, mỗi cạnh lại thuộc hai đỉnh nên nV = 2E.

Thay các giá trị của V và F tính từ hai hệ thức vừa nêu vào công thức Ơle ở trên ta có:

Và sau khi biến đổi ta có:

Ta sẽ bắt đầu xét khối đa diện tạo nên từ các tam giác đều. Vì các góc của mặt đa diện tối đa không thể vượt quá 360o, mà mỗi góc của tam giác đều là 60o, nên khối đa diện do các tam giác đều tạo nên chỉ có thể có ba loại: góc tam diện đều, góc tứ diện và góc ngũ diện. Còn với các lục giác đều thì sẽ ra sao? Do 60o 6 = 360o thì chỉ có thể tạo một mặt đa giác mà không tạo được khối đa diện. Còn với m = 3 ta chỉ có ba loại tình huống:

Với n = 3, ta tính được E = 6, F = 4 là một tứ diện đều.

n = 4, ta tính được E = 12, F = 8 là một khối bát diện đều.

n = 5, ta tính được E = 30, F = 20 là một khối 20 mặt.

Như vậy, với mặt tam giác đều ta chỉ có ba loại: khối tứ diện đều, khối bát diện điều, khối 20 mặt. Do vậy khi m = 4 và n = 3 thay vào công thức Ơle ta có:

E = 12, F = 6.

Nghĩa là với các mặt hình vuông ta chỉ tạo được khối lục diện đều.

Thế thì với các mặt ngũ giác đều thì sẽ ra sao? Vì các góc trong của ngũ giác đều bằng 108o nên từ các ngũ giác đều ta chỉ có thể tạo được góc tam diện đều. Vì vậy khi

m = 5, n = 3 thay vào công thức Ơle ta sẽ tính được:

E = 30 và F = 12

Nghĩa là với các mặt ngũ giác đều chỉ có thể tạo thành một khối 12 mặt.

Do đó có thể thấy khối đa diện đều chỉ có năm loại: Khối tứ diện đều, khối lục diện đều, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.

Còn với một lục giác đều thì do lục giác đều có góc trong 120o nên không tạo được một góc đa diện nên không tạo được khối đa diện đều.

Vì sao phải thi công những công trình dẫn nước vượt qua khu vực?

Sự phân bố nguồn nước trong không gian và sự phân bố đó không hài hòa với tốc độ phát triển kinh tế xã hội là điều xảy ra phổ biến trên thế giới. Ở...

Sơn được lấy từ đâu?

Nhà chúng ta ở, các đồ vật gia dụng chúng ta dùng đều được phủ bởi một lớp sơn màu sắc khác nhau, nó không chỉ mang lại vẻ đẹp cho ngôi nhà mà còn...

Tại sao ong có thể biết chỗ nào đó có thể lấy được mật?

Đại đa số ong nuôi nhân tạo đều sống ở trong hòm gỗ, còn ong rừng lại sống ở trong hốc tường, hốc cây.

Tại sao con người có giọng thanh, giọng trầm?

Chúng ta vẫn thường nghe tiếng nói để phân biệt các đặc trưng như giới tính, tuổi tác của những người mà chúng ta không nhìn thấy mặt. Tại sao chúng ta có thể làm được điều này?

Các nhà du hành vũ trụ từ trên không trung sẽ thấy Trái đất như thế nào?

Khi ở trên không trung, điều thú vị nhất của các nhà du hành vũ trụ đó là được ngắm nhìn toàn bộ bẩu trời. Họ ngắm các vì sao và không bao giờ nhìn...

Giấy chứng minh điện tử có lợi ích gì?

Những loại giấy chứng minh và card mà chúng ta sử dụng trong cuộc sống hằng ngày có rất nhiều. Chẳng hạn giấy chứng minh nhân dân, thẻ lao động, thẻ...

Tại sao nói cáp treo là một biện pháp giao thông tốt trong tương lai?

Bạn đã đến thành phố núi Trùng Khánh chưa? Thành phố này nằm ở chỗ hợp lưu của hai con sông Trường Giang và sông Gia Lăng, là một thành phố bán đảo,...

Sức nổi của phao cứu sinh bằng bao nhiêu?

Khi bạn mang chiếc phao cứu sinh xinh xắn và vui vẻ vẫy vùng trong nước bạn có nghĩ đến điều này: Sức nổi của phao cứu sinh là bao nhiêu?

Có thể một lúc làm hai việc không?

Sử sách chép lại rằng Napoleon nước Pháp, khi soạn thảo “Bộ luật” nhà nước, cùng một lúc có thể nói đến các điều khoản của luật dân sự, luật hình sự,...