Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể người ta thường thấy các khối đa diện đặc thù: các mặt của tinh thể là những đa diện đều, mọi góc của đa diện đều hoàn toàn bằng nhau. Đó chính là các khối đa diện đều. Có rất nhiều khối đa diện đều, nhưng thực ra chúng được xếp thành năm loại. Tại sao vậy?

Trước hết chúng tôi xin giới thiệu công thức Ơle. Vào thế kỉ XVII, nhà toán học kiệt xuất Thuỵ Sĩ Ơle đã chỉ ra mối quan hệ ràng buộc giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của khối đa diện nói chung. Ông nêu ra hệ thức giải tích

trong đó, E là số cạnh, F là số mặt, V là số đỉnh của khối đa diện.

Trong toán học người ta gọi là công thức Ơle để ghi nhớ công lao của ông. Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng công thức Ơle để chứng minh chỉ có năm loại khối đa diện.

Giả sử khối đa diện đều được hình thành từ các mặt, mỗi mặt có m cạnh, số mặt của khối đa diện là F, thế thì F mặt sẽ có mF cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt lân cận, vì vậy mF = 2E.

Giả sử mỗi đa diện đều có các đỉnh mà mỗi đỉnh lại là đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nếu khối đa diện có V đỉnh sẽ có nV cạnh, mỗi cạnh lại thuộc hai đỉnh nên nV = 2E.

Thay các giá trị của V và F tính từ hai hệ thức vừa nêu vào công thức Ơle ở trên ta có:

Và sau khi biến đổi ta có:

Ta sẽ bắt đầu xét khối đa diện tạo nên từ các tam giác đều. Vì các góc của mặt đa diện tối đa không thể vượt quá 360o, mà mỗi góc của tam giác đều là 60o, nên khối đa diện do các tam giác đều tạo nên chỉ có thể có ba loại: góc tam diện đều, góc tứ diện và góc ngũ diện. Còn với các lục giác đều thì sẽ ra sao? Do 60o 6 = 360o thì chỉ có thể tạo một mặt đa giác mà không tạo được khối đa diện. Còn với m = 3 ta chỉ có ba loại tình huống:

Với n = 3, ta tính được E = 6, F = 4 là một tứ diện đều.

n = 4, ta tính được E = 12, F = 8 là một khối bát diện đều.

n = 5, ta tính được E = 30, F = 20 là một khối 20 mặt.

Như vậy, với mặt tam giác đều ta chỉ có ba loại: khối tứ diện đều, khối bát diện điều, khối 20 mặt. Do vậy khi m = 4 và n = 3 thay vào công thức Ơle ta có:

E = 12, F = 6.

Nghĩa là với các mặt hình vuông ta chỉ tạo được khối lục diện đều.

Thế thì với các mặt ngũ giác đều thì sẽ ra sao? Vì các góc trong của ngũ giác đều bằng 108o nên từ các ngũ giác đều ta chỉ có thể tạo được góc tam diện đều. Vì vậy khi

m = 5, n = 3 thay vào công thức Ơle ta sẽ tính được:

E = 30 và F = 12

Nghĩa là với các mặt ngũ giác đều chỉ có thể tạo thành một khối 12 mặt.

Do đó có thể thấy khối đa diện đều chỉ có năm loại: Khối tứ diện đều, khối lục diện đều, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.

Còn với một lục giác đều thì do lục giác đều có góc trong 120o nên không tạo được một góc đa diện nên không tạo được khối đa diện đều.

Bệnh ung thư có liên quan đến ô nhiễm môi trường không?

Bạn có biết thế nào gọi là “ba tác nhân” không? Đó là tác nhân gây ung thư, tác nhân gây dị dạng và tác nhân gây đột biến, nó dẫn đến bệnh ung thư,...

Vì sao khi đứng thành tường chắn đá phạt, cầu thủ bóng đá dùng hai tay ôm bụng dưới?

Xem đá bóng, ta thường thấy trong những pha đá phạt trực tiếp, các cầu thủ đứng thành tường chắn

Tại sao điện thoại đồ chơi của trẻ em cũng có thể truyền tiếng nói?

Bạn đã bao giờ chơi trò trẻ con này chưa? Dùng hai chiếc vỏ đồ hộp bằng sắt, lấy đinh đục một lỗ nhỏ ở đáy mỗi hộp, dùng sợi dây chỉ dài khoảng 20m luồn và thắt nút mỗi đầu sợi chỉ vào lỗ xâu của một ống bơ.

Vì sao xuất hiện chớp dạng hình cây và hình cầu?

Vào lúc chạng vạng tối của mùa hè, đám mây hồng đi qua làm nóng mặt đất, cộng thêm tác dụng tiềm nhiệt của hơi nước đóng băng lan rộng rất cao và dẩy,...

Mạng gia đình là gì?

Mạng gia đình là mạng máy tính lắp đặt trong gia đình. Ta liên kết mấy máy tính trong nhà lại cũng gọi là một mạng gia đình.

Cách phân biệt một số loại tên lửa

Theo thống kê, hiện trên thế giới có gần 600 loại tên lửa có tính năng, công dụng khác nhau. Dựa trên sự khác nhau của căn cứ phóng tên lửa và vị trí...

Động vật trút giận như thế nào?

Ăn miếng trả miếng, đó là phản ứng thường gặp khi xung đột giữa hai con vật xảy ra. Song có khi, chúng lại đưa ra một số động tác kỳ quặc, chuyển "cục...

Tại sao phá nhà bằng bộc phá được điều khiển vừa nhanh vừa an toàn?

Năm 1995, thành phố Thượng Hải do nhu cầu xây dựng ở trên cao, nên phải tháo dỡ một thư viện cỡ lớn cao mấy chục mét, người ta tiến hành cho nổ bộc...

Oxy trên Trái Đất có dùng cạn hết không?

Hằng ngày người và động vật trên Trái Đất đều hấp thụ oxy và thở ra cacbon đioxit. Mỗi ngày, mỗi người ở độ tuổi thành niên thở ra 400 lít cacbon...