Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể người ta thường thấy các khối đa diện đặc thù: các mặt của tinh thể là những đa diện đều, mọi góc của đa diện đều hoàn toàn bằng nhau. Đó chính là các khối đa diện đều. Có rất nhiều khối đa diện đều, nhưng thực ra chúng được xếp thành năm loại. Tại sao vậy?

Trước hết chúng tôi xin giới thiệu công thức Ơle. Vào thế kỉ XVII, nhà toán học kiệt xuất Thuỵ Sĩ Ơle đã chỉ ra mối quan hệ ràng buộc giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của khối đa diện nói chung. Ông nêu ra hệ thức giải tích

trong đó, E là số cạnh, F là số mặt, V là số đỉnh của khối đa diện.

Trong toán học người ta gọi là công thức Ơle để ghi nhớ công lao của ông. Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng công thức Ơle để chứng minh chỉ có năm loại khối đa diện.

Giả sử khối đa diện đều được hình thành từ các mặt, mỗi mặt có m cạnh, số mặt của khối đa diện là F, thế thì F mặt sẽ có mF cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt lân cận, vì vậy mF = 2E.

Giả sử mỗi đa diện đều có các đỉnh mà mỗi đỉnh lại là đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nếu khối đa diện có V đỉnh sẽ có nV cạnh, mỗi cạnh lại thuộc hai đỉnh nên nV = 2E.

Thay các giá trị của V và F tính từ hai hệ thức vừa nêu vào công thức Ơle ở trên ta có:

Và sau khi biến đổi ta có:

Ta sẽ bắt đầu xét khối đa diện tạo nên từ các tam giác đều. Vì các góc của mặt đa diện tối đa không thể vượt quá 360o, mà mỗi góc của tam giác đều là 60o, nên khối đa diện do các tam giác đều tạo nên chỉ có thể có ba loại: góc tam diện đều, góc tứ diện và góc ngũ diện. Còn với các lục giác đều thì sẽ ra sao? Do 60o 6 = 360o thì chỉ có thể tạo một mặt đa giác mà không tạo được khối đa diện. Còn với m = 3 ta chỉ có ba loại tình huống:

Với n = 3, ta tính được E = 6, F = 4 là một tứ diện đều.

n = 4, ta tính được E = 12, F = 8 là một khối bát diện đều.

n = 5, ta tính được E = 30, F = 20 là một khối 20 mặt.

Như vậy, với mặt tam giác đều ta chỉ có ba loại: khối tứ diện đều, khối bát diện điều, khối 20 mặt. Do vậy khi m = 4 và n = 3 thay vào công thức Ơle ta có:

E = 12, F = 6.

Nghĩa là với các mặt hình vuông ta chỉ tạo được khối lục diện đều.

Thế thì với các mặt ngũ giác đều thì sẽ ra sao? Vì các góc trong của ngũ giác đều bằng 108o nên từ các ngũ giác đều ta chỉ có thể tạo được góc tam diện đều. Vì vậy khi

m = 5, n = 3 thay vào công thức Ơle ta sẽ tính được:

E = 30 và F = 12

Nghĩa là với các mặt ngũ giác đều chỉ có thể tạo thành một khối 12 mặt.

Do đó có thể thấy khối đa diện đều chỉ có năm loại: Khối tứ diện đều, khối lục diện đều, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.

Còn với một lục giác đều thì do lục giác đều có góc trong 120o nên không tạo được một góc đa diện nên không tạo được khối đa diện đều.

Tại sao vào mùa hè trong rừng lại khá mát mẻ?

Mùa hè, sau một trận mưa không khí rất mát mẻ, đó là do nước bốc hơi, cần hấp thụ lượng nhiệt lớn, cùng với lượng nước bay hơi liên tục, nhiệt trên...

Từ đâu trẻ thích thú nhồi bông?

Gần như là sở thích muôn thủa. Đi cửa hàng, trong vô số đồ chơi bắt mắt, sinh động và kỳ lạ, những con gấu bông, chó bông, thỏ bông.

Hình hoa tuyết có bao nhiêu chiều?

Mọi người đều biết câu chuyện người mù sờ voi. Theo truyền thuyết, có ba người mù chưa từng thấy một con voi lớn, thế nhưng họ lại muốn biết con voi...

Tại sao điện thoại đồ chơi của trẻ em cũng có thể truyền tiếng nói?

Bạn đã bao giờ chơi trò trẻ con này chưa? Dùng hai chiếc vỏ đồ hộp bằng sắt, lấy đinh đục một lỗ nhỏ ở đáy mỗi hộp, dùng sợi dây chỉ dài khoảng 20m luồn và thắt nút mỗi đầu sợi chỉ vào lỗ xâu của một ống bơ.

Tại sao tằm lại thích ăn lá dâu nhất?

Cách đây khoảng 18 triệu năm, trên Trái Đất đã có một loài thực vật là cây dâu. Cây dâu vốn sinh trưởng ở khu vực nóng ẩm, là loài cây xanh quanh năm, sau khi đến với vùng ôn đới mới dần dần trở thành loài cây rụng lá.

Tại sao có cầu xây cao, có cầu xây thấp?

Tác dụng của cầu là nối liền con đường ở hai bên bờ sông, nhưng nếu cầu và đường ở hai bên bờ bằng phẳng như nhau, thì tuy có thuận tiện cho xe cộ qua...

Tại sao trời quầng thì gió, trăng tán thì mưa?

Mỗi khi quanh mặt trời hoặc mặt trăng xuất hiện những vòng ánh sáng khá lớn màu trắng hoặc nhiều màu, ông bà lại nhắc con cháu thu thóc đang phơi, cất...

Thế nào là "thực phẩm xanh"?

Thập kỉ 60 của thế kỉ XX nền nông nghiệp thế giới đã phát sinh một cuộc cách mạng kĩ thuật. Phân hoá học, thuốc bảo vệ thực vật, thuốc kích thích sinh...

Người ta có thể nói chuyện mà không làm rung dây thanh âm được không?

Có thể. Trong trường hợp nói thì thầm, chúng ta không làm cho dây thanh âm rung lên.