Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể người ta thường thấy các khối đa diện đặc thù: các mặt của tinh thể là những đa diện đều, mọi góc của đa diện đều hoàn toàn bằng nhau. Đó chính là các khối đa diện đều. Có rất nhiều khối đa diện đều, nhưng thực ra chúng được xếp thành năm loại. Tại sao vậy?

Trước hết chúng tôi xin giới thiệu công thức Ơle. Vào thế kỉ XVII, nhà toán học kiệt xuất Thuỵ Sĩ Ơle đã chỉ ra mối quan hệ ràng buộc giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của khối đa diện nói chung. Ông nêu ra hệ thức giải tích

trong đó, E là số cạnh, F là số mặt, V là số đỉnh của khối đa diện.

Trong toán học người ta gọi là công thức Ơle để ghi nhớ công lao của ông. Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng công thức Ơle để chứng minh chỉ có năm loại khối đa diện.

Giả sử khối đa diện đều được hình thành từ các mặt, mỗi mặt có m cạnh, số mặt của khối đa diện là F, thế thì F mặt sẽ có mF cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt lân cận, vì vậy mF = 2E.

Giả sử mỗi đa diện đều có các đỉnh mà mỗi đỉnh lại là đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nếu khối đa diện có V đỉnh sẽ có nV cạnh, mỗi cạnh lại thuộc hai đỉnh nên nV = 2E.

Thay các giá trị của V và F tính từ hai hệ thức vừa nêu vào công thức Ơle ở trên ta có:

Và sau khi biến đổi ta có:

Ta sẽ bắt đầu xét khối đa diện tạo nên từ các tam giác đều. Vì các góc của mặt đa diện tối đa không thể vượt quá 360o, mà mỗi góc của tam giác đều là 60o, nên khối đa diện do các tam giác đều tạo nên chỉ có thể có ba loại: góc tam diện đều, góc tứ diện và góc ngũ diện. Còn với các lục giác đều thì sẽ ra sao? Do 60o 6 = 360o thì chỉ có thể tạo một mặt đa giác mà không tạo được khối đa diện. Còn với m = 3 ta chỉ có ba loại tình huống:

Với n = 3, ta tính được E = 6, F = 4 là một tứ diện đều.

n = 4, ta tính được E = 12, F = 8 là một khối bát diện đều.

n = 5, ta tính được E = 30, F = 20 là một khối 20 mặt.

Như vậy, với mặt tam giác đều ta chỉ có ba loại: khối tứ diện đều, khối bát diện điều, khối 20 mặt. Do vậy khi m = 4 và n = 3 thay vào công thức Ơle ta có:

E = 12, F = 6.

Nghĩa là với các mặt hình vuông ta chỉ tạo được khối lục diện đều.

Thế thì với các mặt ngũ giác đều thì sẽ ra sao? Vì các góc trong của ngũ giác đều bằng 108o nên từ các ngũ giác đều ta chỉ có thể tạo được góc tam diện đều. Vì vậy khi

m = 5, n = 3 thay vào công thức Ơle ta sẽ tính được:

E = 30 và F = 12

Nghĩa là với các mặt ngũ giác đều chỉ có thể tạo thành một khối 12 mặt.

Do đó có thể thấy khối đa diện đều chỉ có năm loại: Khối tứ diện đều, khối lục diện đều, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.

Còn với một lục giác đều thì do lục giác đều có góc trong 120o nên không tạo được một góc đa diện nên không tạo được khối đa diện đều.

Bài toán vui về trọng lượng của mây

Đã bao giờ bạn tự hỏi xem một đống tuyết xốp lơ lửng trên bẩu trời nặng bao nhiêu? Hay một cơn bão thi độ mấy tấn? Một nhà khí tượng học Mỹ đã thực...

Tại sao có một số con đường cần phải nhuộm màu?

Những con đường mà chúng ta thường thấy nếu không phải là mặt đường nhựa màu đen thì là mặt đường xi măng màu xám. Nói đến đường màu, e rằng chỉ thấy...

Làm thế nào để việc kiểm tra bệnh định kì ít tốn kém nhất?

Ở một số nước có nền y học tiên tiến thường có việc kiểm tra định kì một số bệnh xã hội. Một phương pháp kiểm tra bệnh thông thường là phương pháp thử...

Vì sao trên không ở vùng cực Trái Đất có lỗ thủng ozon?

Tương truyền đời xưa Thủy thần và Hỏa thần gặp nhau, vì tranh quyền xưng bá thiên hạ nên sát phạt lẫn nhau. Thủy thần đại bại vì căm tức mà húc đầu...

Vì sao mặt trời lặn vào mây thì đêm sẽ mưa?

Vào lúc xẩm tối, nếu xuất hiện những đám mây đen lớn sát đường chân trời, gió thổi mạnh, mặt trời dường như lặn vào trong những đám mây ấy, thì thường...

Vì sao phải xây dựng Trạm vũ trụ Quốc tế?

Vũ trụ là môi trường thứ tư của con người ngoài lục địa, biển, và tầng khí quyển. Đối với môi trường mới này con người đang nghiên cứu và khai thác...

Tại sao nụ cây bông lại nở được ít?

Trên cây bông, rất nhiều những quả bông nở, nhưng cuối cùng thật sự có thể nở thành bông lại không nhiều, đại bộ phận đều rơi xuống đất khi chưa chín....

Tại sao rừng có thể trị bệnh?

Phương pháp dùng rừng chữa bệnh gọi là liệu pháp rừng. Rừng trị bệnh không phải như tiêm hay uống thuốc mà nhờ “chất sống” do rừng phát ra cùng với...

Vì sao ở đa số người, tay phải mạnh hơn tay trái?

Trên 90% nhân loại có thói quen dùng tay phải làm việc. Tay phải của họ cả về lực, độ to nhỏ hoặc về trọng lượng đều mạnh hơn tay trái.