Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể người ta thường thấy các khối đa diện đặc thù: các mặt của tinh thể là những đa diện đều, mọi góc của đa diện đều hoàn toàn bằng nhau. Đó chính là các khối đa diện đều. Có rất nhiều khối đa diện đều, nhưng thực ra chúng được xếp thành năm loại. Tại sao vậy?

Trước hết chúng tôi xin giới thiệu công thức Ơle. Vào thế kỉ XVII, nhà toán học kiệt xuất Thuỵ Sĩ Ơle đã chỉ ra mối quan hệ ràng buộc giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của khối đa diện nói chung. Ông nêu ra hệ thức giải tích

trong đó, E là số cạnh, F là số mặt, V là số đỉnh của khối đa diện.

Trong toán học người ta gọi là công thức Ơle để ghi nhớ công lao của ông. Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng công thức Ơle để chứng minh chỉ có năm loại khối đa diện.

Giả sử khối đa diện đều được hình thành từ các mặt, mỗi mặt có m cạnh, số mặt của khối đa diện là F, thế thì F mặt sẽ có mF cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt lân cận, vì vậy mF = 2E.

Giả sử mỗi đa diện đều có các đỉnh mà mỗi đỉnh lại là đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nếu khối đa diện có V đỉnh sẽ có nV cạnh, mỗi cạnh lại thuộc hai đỉnh nên nV = 2E.

Thay các giá trị của V và F tính từ hai hệ thức vừa nêu vào công thức Ơle ở trên ta có:

Và sau khi biến đổi ta có:

Ta sẽ bắt đầu xét khối đa diện tạo nên từ các tam giác đều. Vì các góc của mặt đa diện tối đa không thể vượt quá 360o, mà mỗi góc của tam giác đều là 60o, nên khối đa diện do các tam giác đều tạo nên chỉ có thể có ba loại: góc tam diện đều, góc tứ diện và góc ngũ diện. Còn với các lục giác đều thì sẽ ra sao? Do 60o 6 = 360o thì chỉ có thể tạo một mặt đa giác mà không tạo được khối đa diện. Còn với m = 3 ta chỉ có ba loại tình huống:

Với n = 3, ta tính được E = 6, F = 4 là một tứ diện đều.

n = 4, ta tính được E = 12, F = 8 là một khối bát diện đều.

n = 5, ta tính được E = 30, F = 20 là một khối 20 mặt.

Như vậy, với mặt tam giác đều ta chỉ có ba loại: khối tứ diện đều, khối bát diện điều, khối 20 mặt. Do vậy khi m = 4 và n = 3 thay vào công thức Ơle ta có:

E = 12, F = 6.

Nghĩa là với các mặt hình vuông ta chỉ tạo được khối lục diện đều.

Thế thì với các mặt ngũ giác đều thì sẽ ra sao? Vì các góc trong của ngũ giác đều bằng 108o nên từ các ngũ giác đều ta chỉ có thể tạo được góc tam diện đều. Vì vậy khi

m = 5, n = 3 thay vào công thức Ơle ta sẽ tính được:

E = 30 và F = 12

Nghĩa là với các mặt ngũ giác đều chỉ có thể tạo thành một khối 12 mặt.

Do đó có thể thấy khối đa diện đều chỉ có năm loại: Khối tứ diện đều, khối lục diện đều, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều.

Còn với một lục giác đều thì do lục giác đều có góc trong 120o nên không tạo được một góc đa diện nên không tạo được khối đa diện đều.

Vì sao mật có sỏi?

Ở bên phải bụng trên của cơ thể có một hệ thống đường mật gồm túi mật và ống mật, trong đó có dịch mật (được sản xuất tại gan, mỗi ngày 50-100 ml)....

Vì sao sâm Ngọc Linh lại quý như thế?

Không chỉ được mệnh danh là “Dược liệu Quốc bảo”, sâm Ngọc Linh Việt Nam còn được xếp là loài sâm quý nhất thế giới bởi sở hữu những hoạt chất quý mà không phải loại sâm nào cũng có.

Vì sao ruộng lúa mà nuôi cá thì lúa tốt, cá béo?

Nuôi cá trong ruộng lúa còn gọi là “cá dưới lúa”, là một trong những phương thức sản xuất của đồng lúa khu vực miền núi và đồi gò ở phương nam Trung...

Trước khi tiêm penicelin, vì sao phải tiêm thử phản ứng dưới da?

Penicelin là loại kháng sinh đầu tiên con người phát hiện được. Sự phát hiện ra nó giúp cho con người không còn phải bó tay trước vi khuẩn bệnh.

Tại sao bệnh dịch hạch lại trở thành đại hoạ của nhân loại?

Ngày 24 tháng 3 năm 1345, người ta phát hiện thấy trên bẩu trời một hiện tượng kỳ lạ: Thổ tinh, Mộc tinh, Hoả tinh gặp nhau, chập làm một. Ở châu Âu...

Môđem và card mạng có gì khác nhau?

Ngay từ những năm 60 thế kỉ XX người ta đã nghĩ cách sử dụng đường dây điện thoại bình thường để kết nối những máy tính đặt cách xa nhau, khiến chúng...

Tại sao Greenland là hòn đảo khổng lồ?

Xét về địa lý, điểm khác nhau duy nhất giữa đảo và lục địa là kích thước. Lục địa nhỏ nhất Australia, có tổng diện tích khoảng 7,6 triệu km2, vẫn rộng...

Người câm điếc có thể dùng điện thoại không?

Maria là cô gái câm điếc sinh ra tại đất nước Ôxtrâylia. Lúc ba tuổi, do sự cố trong điều trị mà từ đó cô phải sống trong thế giới vô thanh.

Vì sao không nên uống nước ngay sau khi ăn trái cây?

Sau mỗi bữa ăn, uống nước sẽ rất có lợi cho sức khỏe. Nước khi đó sẽ có tác dụng cải thiện tiêu hóa. Tuy nhiên, uống một ly nước ngay sau khi ăn trái cây có thể gây hại nhiều hơn là lợi.