Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào?

Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có.

Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ?

Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng.

Nội dung của phương pháp giải bài toán có thể biểu diễn bằng biểu thức dưới đây:

trong đó a, b, c là các số dư tương ứng khi chập 3, chập 5 và chập 7 các lá cờ. Nếu con số tính được lớn hơn 105 thì trừ cho 105 đến khi được một số nhỏ hơn 105 thì dừng lại. Theo cách giải này bài toán đoán số lá cờ ở trên đây sẽ có đáp án 1 x 70 + 2 x 21 + 2 x 15 - 105 = 37 lá.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” là cần bộ ba số 3, 5 và 7, liệu có thể dùng các bộ ba số khác được không? Để trả lời câu hỏi này ta cần nghiên cứu kĩ cách giải bài toán “Hàn Tín điểm binh”: “70a + 21b+ 15c - 105”.

Ta cần xem xét các mối quan hệ của 4 số 70, 21, 15 và 105 với các số 3, 5, 7.

1) 70 = 2 x 5 x 7; 70 = 3 x 23 + 1 nên 70 là bội số chung của 5 và 7 và khi chia cho 3 thì dư 1.

2) 21 là bội số chung của 3 và 7, 21 chia cho 5 thì dư 1.

3) 15 là bội số chung của 3 và 5, 15 chia cho 7 dư 1.

4) 105 là bội số chung nhỏ nhất của ba số 3, 5, 7.

Dựa vào mối quan hệ trên đây thì “70a + 21b + 15c - 105” chính là số phải tìm. Bởi vì:

70a + 21b + 15c - 105 =

= (3 x 23 +1) x 1 + (3 x 7 x 2) + (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7)

= 3 x 23 x 1 + 1 x 1+ 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3 x 5 x 7

= 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1

Vì vậy 70a + 21b + 15c - 105 chia cho 3 có số dư là 1. Cũng lí luận tương tự đem số này chia cho 5 và cho 7 đều có số dư là 2.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” người ta lại dùng bộ ba số 3, 5, 7. Chúng ta biết rằng hai số bất kì trong ba số là các số nguyên tố từng đôi một (số nguyên tố cùng nhau, chỉ có ước số chung là 1). Từ đó nếu tìm được một số có tính chất là bội số chung của hai trong bộ ba số và khi đem chia cho số thứ ba mà có số dư là 1 như các số 70, 21, 15 thì đáp ứng yêu cầu của bài toán “Hàn Tín điểm binh”.

Thế với các số không nguyên tố cùng nhau thì có thể tìm được các số 70, 21 và 15 hay không? Ví dụ chọn ba số 4, 6, 7 trong đó hai số 4 và 6 không nguyên tố cùng nhau, có ước số chung lớn nhất là 2. Mà bội số chung của các số 6, 7 đều là các số chẵn nếu đem chia cho số 4 thì đều có số dư là số chẵn mà không thể là số 1, vì vậy chúng ta sẽ không tìm được sự tương hợp với 70, 21, 15. Nên bài toán “Hàn Tín điểm binh” không sử dụng được ba số không nguyên tố cùng nhau.

Chúng ta có thể bỏ bộ ba số khác với 3, 5, 7 mà dùng bộ ba số nguyên tố cùng nhau khác. Ví dụ 2, 3, 11 biểu thức của giải pháp là “33a + 22b + 12c - 66”. Trong đó các số 33, 22, 12 và 66 thoả mãn 4 mối quan hệ như đã nêu ở trên và các bạn dễ dàng tìm thấy số phải tìm là 37.

Vì sao năng lượng điện hạt nhân lại có tương lai phát triển?

Hiện nay, rất nhiều quốc gia có nhà máy điện hạt nhân. Số quốc gia đang gia nhập vào danh sách này ngày càng nhiều...

Tại sao dấm có tác dụng "bảo vệ sức khỏe" cho cây trồng?

Cây trồng trong quá trình sinh trưởng không chỉ cần các điều kiện cơ bản không khí, nước, ánh sáng, nhiệt độ..

Vì sao không thể tùy tiện khai hoang hoặc lấn hồ thành ruộng?

Việc khai hoang, lấn hồ làm ruộng là để mở rộng thêm diện tích canh tác, trồng thêm lương thực, nâng cao sản lượng nông sản. Nhưng nếu không nghiên...

Vì sao miền Nam Trung Quốc lại có nhiều đất đỏ?

Đất đỏ được phân bố tại phía nam sông Trường Giang Trung Quốc, đặc biệt là các tỉnh khu vực nam bộ như Hồ Bắc, miền nam tỉnh An Huy, tỉnh Phúc Kiến,...

Vì sao phải quy định điều kiện thời tiết để sân bay đóng hay mở cửa?

Chúng ta đều biết máy bay là công cụ giao thông chủ yếu vận chuyển hàng hoá và hành khách cự ly xa. Trong quá trình cất cánh, hạ cánh và bay thường do...

Tại sao quả trứng gà có một đầu to một đầu nhỏ?

Mỗi một người đều đã từng ăn trứng gà, cũng rất quen thuộc với trứng gà, hình dáng của quả trứng giống như một hình bầu dục có hai đầu không cân bằng, nhưng tại sao hai đầu của trứng gà lại một đầu to một đầu nhỏ vậy nhỉ?

Vì sao có người dễ chảy máu mũi?

Bình thường mũi không chảy máu. Mũi dễ chảy máu có thể là do bản thân lỗ mũi có bệnh, cũng có

Tại sao phải phát triển ngành nông nghiệp sinh thái?

Ở nông thôn các vùng Chiết Giang, Giang Tô, Quảng Đông Trung Quốc, họ đào ao, trong ao nuôi cá, trên ao trồng dâu, dưới cây dâu trồng cỏ, lấy dâu nuôi...

Cách nào phân biệt rắn độc?

Phân biệt căn bản nhất giữa hai nhóm rắn độc và không độc là ở chỗ răng độc hay không. Răng độc khi cắn sẽ để lại vết trên da loài bị cắn.