Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào?

Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có.

Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ?

Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng.

Nội dung của phương pháp giải bài toán có thể biểu diễn bằng biểu thức dưới đây:

trong đó a, b, c là các số dư tương ứng khi chập 3, chập 5 và chập 7 các lá cờ. Nếu con số tính được lớn hơn 105 thì trừ cho 105 đến khi được một số nhỏ hơn 105 thì dừng lại. Theo cách giải này bài toán đoán số lá cờ ở trên đây sẽ có đáp án 1 x 70 + 2 x 21 + 2 x 15 - 105 = 37 lá.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” là cần bộ ba số 3, 5 và 7, liệu có thể dùng các bộ ba số khác được không? Để trả lời câu hỏi này ta cần nghiên cứu kĩ cách giải bài toán “Hàn Tín điểm binh”: “70a + 21b+ 15c - 105”.

Ta cần xem xét các mối quan hệ của 4 số 70, 21, 15 và 105 với các số 3, 5, 7.

1) 70 = 2 x 5 x 7; 70 = 3 x 23 + 1 nên 70 là bội số chung của 5 và 7 và khi chia cho 3 thì dư 1.

2) 21 là bội số chung của 3 và 7, 21 chia cho 5 thì dư 1.

3) 15 là bội số chung của 3 và 5, 15 chia cho 7 dư 1.

4) 105 là bội số chung nhỏ nhất của ba số 3, 5, 7.

Dựa vào mối quan hệ trên đây thì “70a + 21b + 15c - 105” chính là số phải tìm. Bởi vì:

70a + 21b + 15c - 105 =

= (3 x 23 +1) x 1 + (3 x 7 x 2) + (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7)

= 3 x 23 x 1 + 1 x 1+ 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3 x 5 x 7

= 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1

Vì vậy 70a + 21b + 15c - 105 chia cho 3 có số dư là 1. Cũng lí luận tương tự đem số này chia cho 5 và cho 7 đều có số dư là 2.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” người ta lại dùng bộ ba số 3, 5, 7. Chúng ta biết rằng hai số bất kì trong ba số là các số nguyên tố từng đôi một (số nguyên tố cùng nhau, chỉ có ước số chung là 1). Từ đó nếu tìm được một số có tính chất là bội số chung của hai trong bộ ba số và khi đem chia cho số thứ ba mà có số dư là 1 như các số 70, 21, 15 thì đáp ứng yêu cầu của bài toán “Hàn Tín điểm binh”.

Thế với các số không nguyên tố cùng nhau thì có thể tìm được các số 70, 21 và 15 hay không? Ví dụ chọn ba số 4, 6, 7 trong đó hai số 4 và 6 không nguyên tố cùng nhau, có ước số chung lớn nhất là 2. Mà bội số chung của các số 6, 7 đều là các số chẵn nếu đem chia cho số 4 thì đều có số dư là số chẵn mà không thể là số 1, vì vậy chúng ta sẽ không tìm được sự tương hợp với 70, 21, 15. Nên bài toán “Hàn Tín điểm binh” không sử dụng được ba số không nguyên tố cùng nhau.

Chúng ta có thể bỏ bộ ba số khác với 3, 5, 7 mà dùng bộ ba số nguyên tố cùng nhau khác. Ví dụ 2, 3, 11 biểu thức của giải pháp là “33a + 22b + 12c - 66”. Trong đó các số 33, 22, 12 và 66 thoả mãn 4 mối quan hệ như đã nêu ở trên và các bạn dễ dàng tìm thấy số phải tìm là 37.

Tại sao lại phải luôn thay đổi chậu trồng hoa?

Cây thường trồng trong chậu hoa để thưởng thức cái đẹp được gọi là cây cảnh. Lấy cây hoa ra khỏi chậu hoa cũ rồi lại trồng sang một chậu hoa khác,...

Thế nào là sóng vô tuyến vũ trụ?

Nói đến phát sóng vô tuyến người ta vẫn có cảm giác đó là một danh từ khoa học bí ảo, sâu xa và trừu tượng. Thực ra nó chính là sóng vô tuyến trong...

Mẹ của cừu "Đô-li" là ai?

Cừu "Đô-li" có tiếng tăm lẫy lừng là sản phẩm của kĩ thuật nhân bản. Sự khác biệt lớn nhất giữa con vật nổi tiếng trong giới khoa học kĩ thuật này với cừu bình thường chính là nó không có cha, nhưng lại có 3 mẹ.

Vì sao khu vực trung hạ lưu sông Trường Giang có rất nhiều ao hồ?

Khu vực trung hạ lưu sông Trường Giang, đất đai màu mỡ, nhiều ao hồ, theo thống kê chưa hoàn chỉnh, tổng diện tích đất trũng hồ ao ở đây đạt tới hơn...

Mật ong được gây bằng cách nào?

Rất nhiều người biết, mật ong là do ong thu thập chất ngọt trong những bông hoa tạo thành, nhưng quá trình thu thập gây mật có biết bao nhiêu gian khổ phức tạp thì lại không được người ta biết đến.

Có phải nam thông minh hơn nữ?

Chuyện này quả là khó nói. Về tổng thể, trí thông minh của nam và nữ tương đương nhau, tuy nhiên, mang các sắc thái khác nhau.

Công thức Luan vũ trụ là gì?

Vũ trụ mênh mông bao la. Ngoài Trái Đất ra trên những tinh cầu khác còn có thể ẩn dấu người ngoài hành tinh - sinh vật có trí tuệ cao cấp không? Năm...

Tại sao người Trung Quốc thường dùng số 5 và số 10 để nói lên sự viên mãn?

Trong tiếng Hán có nhiều từ ngữ được đặt với hai chữ "ngũ” (năm) và "thập" (mười). Các từ ngữ này thường nói lên ý nghĩa "toàn bộ" hoặc "viên mãn"...

Tại sao trên cùng một đường dây điện thoại vừa có thể gọi điện thoại vừa truyền tải tín hiệu?

Máy tính vào mạng, khi không có đường dây chuyên dụng thì có thể sử dụng đường dây điện thoại. Nhưng lúc này phải dùng thêm một bộ môđem.