Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào?

Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có.

Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ?

Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng.

Nội dung của phương pháp giải bài toán có thể biểu diễn bằng biểu thức dưới đây:

trong đó a, b, c là các số dư tương ứng khi chập 3, chập 5 và chập 7 các lá cờ. Nếu con số tính được lớn hơn 105 thì trừ cho 105 đến khi được một số nhỏ hơn 105 thì dừng lại. Theo cách giải này bài toán đoán số lá cờ ở trên đây sẽ có đáp án 1 x 70 + 2 x 21 + 2 x 15 - 105 = 37 lá.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” là cần bộ ba số 3, 5 và 7, liệu có thể dùng các bộ ba số khác được không? Để trả lời câu hỏi này ta cần nghiên cứu kĩ cách giải bài toán “Hàn Tín điểm binh”: “70a + 21b+ 15c - 105”.

Ta cần xem xét các mối quan hệ của 4 số 70, 21, 15 và 105 với các số 3, 5, 7.

1) 70 = 2 x 5 x 7; 70 = 3 x 23 + 1 nên 70 là bội số chung của 5 và 7 và khi chia cho 3 thì dư 1.

2) 21 là bội số chung của 3 và 7, 21 chia cho 5 thì dư 1.

3) 15 là bội số chung của 3 và 5, 15 chia cho 7 dư 1.

4) 105 là bội số chung nhỏ nhất của ba số 3, 5, 7.

Dựa vào mối quan hệ trên đây thì “70a + 21b + 15c - 105” chính là số phải tìm. Bởi vì:

70a + 21b + 15c - 105 =

= (3 x 23 +1) x 1 + (3 x 7 x 2) + (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7)

= 3 x 23 x 1 + 1 x 1+ 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3 x 5 x 7

= 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1

Vì vậy 70a + 21b + 15c - 105 chia cho 3 có số dư là 1. Cũng lí luận tương tự đem số này chia cho 5 và cho 7 đều có số dư là 2.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” người ta lại dùng bộ ba số 3, 5, 7. Chúng ta biết rằng hai số bất kì trong ba số là các số nguyên tố từng đôi một (số nguyên tố cùng nhau, chỉ có ước số chung là 1). Từ đó nếu tìm được một số có tính chất là bội số chung của hai trong bộ ba số và khi đem chia cho số thứ ba mà có số dư là 1 như các số 70, 21, 15 thì đáp ứng yêu cầu của bài toán “Hàn Tín điểm binh”.

Thế với các số không nguyên tố cùng nhau thì có thể tìm được các số 70, 21 và 15 hay không? Ví dụ chọn ba số 4, 6, 7 trong đó hai số 4 và 6 không nguyên tố cùng nhau, có ước số chung lớn nhất là 2. Mà bội số chung của các số 6, 7 đều là các số chẵn nếu đem chia cho số 4 thì đều có số dư là số chẵn mà không thể là số 1, vì vậy chúng ta sẽ không tìm được sự tương hợp với 70, 21, 15. Nên bài toán “Hàn Tín điểm binh” không sử dụng được ba số không nguyên tố cùng nhau.

Chúng ta có thể bỏ bộ ba số khác với 3, 5, 7 mà dùng bộ ba số nguyên tố cùng nhau khác. Ví dụ 2, 3, 11 biểu thức của giải pháp là “33a + 22b + 12c - 66”. Trong đó các số 33, 22, 12 và 66 thoả mãn 4 mối quan hệ như đã nêu ở trên và các bạn dễ dàng tìm thấy số phải tìm là 37.

Tại sao người nguyên thuỷ có thể khoan gỗ để lấy lửa?

Các nhà khoa học trên thế giới chỉ ra rằng, từ rất sớm người nguyên thủy đã biết học cách sử dụng lửa, đó chính là lửa thiên nhiên, tức là những đám lửa do sét đánh vào các khu rừng gây ra cháy...

Tại sao đeo dù giúp chúng ta hạ cánh an toàn?

Với các máy bay chiến đấu, khi bị trúng đạn, phi công bắt buộc phải tìm cách thoát khỏi máy bay. Nếu rơi từ độ cao hàng ngàn mét xuống đất, con người không tránh khỏi cái chết...

Vì sao một số người đầu có gầu nhiêu?

Gầu là sản phẩm đào thải của da đầu, mỗi người đều có. Thông thường, nó không gây cảm giác gì đặc biệt nhưng nếu quá nhiều, nó sẽ gây ngứa và ảnh...

Có bao nhiêu loại mỹ phẩm?

Mỹ phẩm là các loại vật dụng hằng ngày dùng vào việc làm sạch da, làm đẹp tóc, mặt mũi..

Gió thổi như thế nào?

Cờ bay trong gió, thuyền buồm chạy băng băng, mặt nước dập dềnh, sóng vỗ ẩm ẩm,..

Có phải các chất hoà tan trong nước nóng nhiều hơn trong nước lạnh?

Cho một viên kẹo vào mồm, trong chốc lát ta sẽ cảm thấy vị ngọt, còn nếu cho một viên đá vào mồm thì đến suốt cả ngày cũng không cảm thấy gì. Lý do...

Vì sao có loại hoá phẩm phải được đựng trong các bình chứa màu nâu?

Ánh sáng Mặt Trời rực rỡ gây nên nhiều biến đổi quan trọng: Biến hàng vạn tấn nước thành hơi nước, làm tan băng tuyết, làm tăng nhiệt độ không khí và...

Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?

Số chẵn và số nguyên có nhiều như nhau không? Nhiều bạn chưa kịp suy nghĩ đã trả lời “không, không như nhau, bởi vì số chẵn là một bộ phận của số...

Vì sao có thể phóng vệ tinh từ máy bay?

Phóng vệ tinh chủ yếu dùng tên lửa phóng từ mặt đất, mấy năm gần đây người ta cũng bắt đầu dùng máy bay để phóng vệ tinh, tức là dùng máy bay đưa tên...