Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào?

Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có.

Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ?

Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng.

Nội dung của phương pháp giải bài toán có thể biểu diễn bằng biểu thức dưới đây:

trong đó a, b, c là các số dư tương ứng khi chập 3, chập 5 và chập 7 các lá cờ. Nếu con số tính được lớn hơn 105 thì trừ cho 105 đến khi được một số nhỏ hơn 105 thì dừng lại. Theo cách giải này bài toán đoán số lá cờ ở trên đây sẽ có đáp án 1 x 70 + 2 x 21 + 2 x 15 - 105 = 37 lá.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” là cần bộ ba số 3, 5 và 7, liệu có thể dùng các bộ ba số khác được không? Để trả lời câu hỏi này ta cần nghiên cứu kĩ cách giải bài toán “Hàn Tín điểm binh”: “70a + 21b+ 15c - 105”.

Ta cần xem xét các mối quan hệ của 4 số 70, 21, 15 và 105 với các số 3, 5, 7.

1) 70 = 2 x 5 x 7; 70 = 3 x 23 + 1 nên 70 là bội số chung của 5 và 7 và khi chia cho 3 thì dư 1.

2) 21 là bội số chung của 3 và 7, 21 chia cho 5 thì dư 1.

3) 15 là bội số chung của 3 và 5, 15 chia cho 7 dư 1.

4) 105 là bội số chung nhỏ nhất của ba số 3, 5, 7.

Dựa vào mối quan hệ trên đây thì “70a + 21b + 15c - 105” chính là số phải tìm. Bởi vì:

70a + 21b + 15c - 105 =

= (3 x 23 +1) x 1 + (3 x 7 x 2) + (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7)

= 3 x 23 x 1 + 1 x 1+ 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3 x 5 x 7

= 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1

Vì vậy 70a + 21b + 15c - 105 chia cho 3 có số dư là 1. Cũng lí luận tương tự đem số này chia cho 5 và cho 7 đều có số dư là 2.

Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” người ta lại dùng bộ ba số 3, 5, 7. Chúng ta biết rằng hai số bất kì trong ba số là các số nguyên tố từng đôi một (số nguyên tố cùng nhau, chỉ có ước số chung là 1). Từ đó nếu tìm được một số có tính chất là bội số chung của hai trong bộ ba số và khi đem chia cho số thứ ba mà có số dư là 1 như các số 70, 21, 15 thì đáp ứng yêu cầu của bài toán “Hàn Tín điểm binh”.

Thế với các số không nguyên tố cùng nhau thì có thể tìm được các số 70, 21 và 15 hay không? Ví dụ chọn ba số 4, 6, 7 trong đó hai số 4 và 6 không nguyên tố cùng nhau, có ước số chung lớn nhất là 2. Mà bội số chung của các số 6, 7 đều là các số chẵn nếu đem chia cho số 4 thì đều có số dư là số chẵn mà không thể là số 1, vì vậy chúng ta sẽ không tìm được sự tương hợp với 70, 21, 15. Nên bài toán “Hàn Tín điểm binh” không sử dụng được ba số không nguyên tố cùng nhau.

Chúng ta có thể bỏ bộ ba số khác với 3, 5, 7 mà dùng bộ ba số nguyên tố cùng nhau khác. Ví dụ 2, 3, 11 biểu thức của giải pháp là “33a + 22b + 12c - 66”. Trong đó các số 33, 22, 12 và 66 thoả mãn 4 mối quan hệ như đã nêu ở trên và các bạn dễ dàng tìm thấy số phải tìm là 37.

Tinh vân là gì?

Từ rất sớm con người đã dùng kính viễn vọng phát hiện ra những thiên thể phát sáng giống như mây mù, gọi là tinh vân.

Tại sao có lúc sư tử lớn muốn ăn sư tử con?

Cho dù cùng chung sống trong một bầy thì những con sư tử trưởng thành cũng không sống cùng những con sư tử nhỏ, coi như đôi bên không có quan hệ cốt nhục.

Cậu bé Karl (Gauss) làm thế nào để tính tổng dãy số 1 + 2+ 3 +...+100?

Truyện kể rằng nhà toán học Đức Karl-Frederich. Gauss ngay từ lúc còn rất bé đã biểu hiện khả năng tính toán phi thường.

Vì sao phát sinh "sự kiện dầu cám"?

Năm 1968, ở Bắc Cửu, Nhật Bản, mọi người lâm vào một trận khủng hoảng vì gặp một căn bệnh quái dị chưa từng thấy. Loại bệnh này đến rất ồ ạt, bắt đầu...

Nhà cung cấp dịch vụ Internet cung cấp những gì?

Internet là một mạng phủ khắp mọi miền trên thế giới và do rất nhiều mạng hợp thành. Một mạng, thậm chí một máy tính chỉ cần bằng một phương thức nào...

Sao chổi có khả năng va chạm với Trái đất không?

Nói đến sao chổi rất nhiều người nghĩ rằng sao chổi là một thiên thể đẹp đẽ có cái đuôi rất dài. Thời cổ đại sự xuất hiện của sao chổi thường được coi...

Những ngày kỉ niệm bảo vệ môi trường có liên quan đến những vấn đề gì?

Ngày kỉ niệm bảo vệ môi trường nổi tiếng nhất là “Ngày Trái Đất” và “Ngày Môi trường thế giới”. Ngoài ra một số tổ chức quốc tế còn đặt ra một số ngày...

Thế nào là cân bằng sinh thái?

Trên Trái Đất tồn tại đủ các dạng thực vật, động vật và vi sinh vật. Nó cùng với không khí, nước và đất đai tổ hợp thành một hệ thống sinh thái khổng...

Vì sao gọi phích nước nóng là không chính xác?

Chúng ta thường quen gọi phích giữ nhiệt là phích nước nóng, bởi vì trong gia đình chúng ta thường đổ nước sôi vào trong phích để giữ nhiệt.