Bài toán “một trăm con gà” thế nào?

Vào thế kỉ thứ V ở Trung Quốc có bộ sách toán nổi tiếng là “Sách toán Trương Khâu Kiện” trong đó có bài toán trăm con gà. Đem 100 đồng mua 100 con gà, gà trống giá 5 đ 1 con, gà mái giá 3 đ một con, 3 gà con giá 1 đồng. Hỏi mua được mấy gà trống, mấy gà mái, mấy gà con. Đây là loại bài toán con gà nổi tiếng.

Làm thế nào để giải bài toàn 100 con gà? Ngày nay thông thường người ta dùng phương pháp đại số để giải bài toán này.

Giả sử gọi x là số gà trống, y là số gà mái, z là số gà con mua được. Theo điều kiện của bài toán ta đặt các phương trình:

Trong đại số ta đã học qua cách giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số, nhưng điều khác ở đây là số phương trình ít hơn số ẩn số. Với các bài toán giải hệ phương trình, nếu số phương trình bằng số ẩn số thì bài toán sẽ cho hệ nghiệm duy nhất. Ở đây số phương trình ít hơn số ẩn số một phương trình, đây là loại phương trình vô định nên bài toán 100 con gà là bài toán phương trình vô định. Nói chung với phương trình vô định, khi giải sẽ cho nhiều hệ nghiệm. Trong “Sách toán Trương Khâu Kiện” không đưa ra cách giải cụ thể mà chỉ ra 3 hệ đáp án:

Từ các hệ nghiệm này có thể thấy, nếu tăng số gà trống 4 con thì khi giảm số gà mái 7 con và tăng số gà con 3 con, ta thu được hệ nghiệm mới. Ta thử xem xét kết luận vừa đưa ra.

Lấy phương trình (2) nhân cho 3 rồi đem kết quả trừ cho phương trình (1) ta có.

14x + 8y = 200

hay 7x + 4y = 100 (3)

Trong phương trình (3), 4 y và 100 đều là bội số của 4 hay

Vì vậy 7x cũng phải là bội số của 4 (nếu không x sẽ không phải là số nguyên và x sẽ không phải là nghiệm của bài toán), hay nói cách khác x phải là bội số của 4, nên x chỉ có thể là x = 4, 8, 12.

Và tương ứng ta sẽ tính ra y = 18, 11, 4 và z = 78, 81, 84. Vì x, y, z phải là các số nguyên nhỏ hơn 100 nên cho dù phương trình vô định có vô số hệ nghiệm nhưng do sự ràng buộc của bài toán 100 con gà, bài toán trên chỉ có ba hệ nghiệm phù hợp với điều kiện của đề toán.