Bi thép lăn theo con đường nào thì nhanh nhất?

Giả sử có viên bi kim loại cho lăn từ điểm A đến điểm B theo một đường máng kim loại được đánh bóng trơn, xét xem phải chế tạo đường máng như thế nào thì thời gian để viên bi lăn từ A đến B là ngắn nhất?

Mới nhìn qua thì vấn đề không có gì khó, có bạn sẽ cho rằng tốt nhất cho viên bi lăn từ A đến B theo một đường thẳng vì đường thẳng là đường ngắn nhất nối từ điểm A đến điểm B. Nhưng vấn đề ở đây không phải là đoạn đường ngắn nhất từ A đến B mà vấn đề là thời gian để bi lăn ngắn nhất. Chúng ta cần biết rằng thời gian rơi của viên bi không quyết định do đoạn đường mà bi lăn mà còn được quyết định do tốc độ lăn của bi.

Nếu ta chế tạo máng kim loại cong xuống ở phần giữa thì khi bi lăn từ A xuống phần cong sẽ có tốc độ nhanh hơn từ A xuống đường lăn dốc hơn và tốc độ lăn của viên bi sẽ lớn hơn khi lăn theo máng thẳng có cùng độ dài. Thế nhưng có điều cần chú ý nếu ở phần đầu của máng có độ dốc quá lớn thì ở phần dưới máng sẽ gần nằm ngang nên tốc độ lăn của viên bi ở phần này sẽ rất chậm. Cho nên nếu chế tạo máng như vừa trình bày thì ở phần đầu tốc độ viên bi sẽ lớn nhưng ở phần cuối tốc độ lăn lại chậm, thời gian lăn của viên bi từ A đến B chưa hẳn đã ngắn nhất.

Như vậy phải chế tác đường máng có dạng thế nào thì thời gian lăn của viên bi là ngắn nhất.

Nhà vật lí kiêm thiên văn học Italia là Galilê đã từng nghiên cứu vấn đề này và ông cho rằng máng cần được chế tạo dưới dạng cung tròn. Thế nhưng 50 năm sau vào khoảng năm 1700, nhà toán học Thuỵ Sĩ Bernoulli đã tính toán chính xác và đi đến kết luận là máng không phải là hình tròn mà phải có dạng một xycloit. Từ đó đường xycloit được gọi là đường lăn nhanh nhất.

Nhưng đường xycloit là gì? Nếu trên một đường tròn, ta cho lăn mà không trượt, ta đánh dấu một điểm cố định trên vòng tròn thì khi cho vòng tròn lăn không trượt trên một đoạn đường, điểm cố định trên vòng tròn sẽ vẽ nên đường xycloit. Đó là lời giải của bài toán đặt ra. Sau này phương pháp này phát triển trở thành ngành phép tính biến phân, có tác dụng rất lớn trong lịch sử toán học.

Do sự phát triển của kĩ thuật hệ thống và vận trù học, sức thanh xuân của phép tính biến phân đã được khôi phục.