Làm thế nào để sắp xếp khéo léo 250 quả táo vào tám chiếc giỏ?

Vấn đề như sau: giả thiết dung tích của các chiếc giỏ đủ lớn để có thể xếp số lượng bất kì các quả táo vào giỏ, làm thế nào xếp 250 quả táo vào tám chiếc giỏ mà khi cần lấy số táo bất kể là bao nhiêu ta cũng không cần phải đếm từng quả mà chỉ cần chọn số giỏ là được.

Vậy phải làm thế nào? Suy nghĩ kĩ một chút ta sẽ thấy thực chất của vấn đề như sau: Làm thế nào chia 250 thành tám số tự nhiên từ 1 đến 250 sao cho có thể biểu diễn số 250 bằng tổng của tám số đó.

Trước hết ta đánh số giỏ từ,,,...,. Sau đó cho vào giỏ số quả táo tương ứng 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 123, nhờ đó ta có thể bỏ toàn bộ số táo vào các giỏ. Bây giờ bất luận bạn cần lấy bao nhiêu quả táo, bạn chỉ cần lấy các số giỏ thích hợp mà không cần đếm từng quả. Ví dụ như cần lấy 55 quả, ta biết 55 = 32 + 16 + 4 + 2 + 1 và ta chỉ cần lấy các giỏ số,,,, là đủ số quả táo là 55 mà không cần đếm từng quả táo. Không tin bạn thử tính và thấy bất kì số nào từ 1 đến 250 đều có thể chọn từ tổng các số khác nhau từ tám số nêu trên.

Nếu bạn cần lấy 255 quả táo thì đương nhiên ta chỉ có một đáp án là:

Thế dãy số trên đây từ đâu mà có? Để giải đáp câu hỏi này ta cần quay lại cách ghi số trong các hệ đếm.

Thông thường người ta ghi số theo hệ đếm thập phân gồm 10 chữ số:

0, 1, 2,..., 9. Dùng hệ đếm thập phân ta có thể ghi lại bất kì số tự nhiên nào.

Trong máy tính người ta lại dùng cách ghi số theo hệ đếm nhị phân. Các chữ số dùng để ghi số trong hệ nhị phân là hai chữ số 0 và 1. Dùng cách ghi số theo hệ đếm nhị phân người ta cũng có thể ghi bất kì một số tự nhiên nào.

Chúng ta có thể theo quy tắc, chuyển cách ghi số từ hệ đếm thập phân sang hệ đếm nhị phân và ngược lại. Ví dụ số 55 là tổng của các số 32, 16, 4, 2, 1 ghi theo hệ đếm nhị phân là 110111. Mà số 110111 viết theo hệ đếm cơ số 10 là

1 x 20 + 1 x 21 x 1 x 22 + 0 x 23 + 1 x 24 + 1 x 25

= 1 + 2 + 4 + 16 + 32 = 55

Bây giờ ta đã thấy rõ được lí do của đáp án trên kia, vì cách chia 255 thành 8 số 20, 21, 22, 23, 24... nhờ cách phân chia này, mỗi số của mỗi giỏ tương đương với một vị trí trong cách ghi số theo cơ số hai gồm hai chữ số 1 và 0 và dựa vào đó mà chọn hay không chọn. Nếu số hiệu của các giỏ cúng chính là số vị trí của các số theo hệ đếm cơ số hai từ phải sang trái ví dụ 55 thì tương đương với 110111 trong hệ đếm cơ số 2 tức là chọn các giỏ có số thứ tự 1, 2, 3, 5 và 6 ta sẽ nhận được 55 quả táo như đáp án đã nêu. Ở đây ta không chọn giỏ số bốn vì theo cách ghi số 55 theo cơ số hai, giỏ số bốn ở vị trí có chữ số 0.

84. Làm thế nào từ số 7 cô lập có thể khôi phục lại toàn bộ cả phép tính?

Xét xem phép tính sau đây chỉ có mỗi số 7 còn các vị trí các chữ số khác đều bỏ trống. Làm thế nào có thể khôi phục được toàn bộ phép tính chia đã cho. Số bị chia là con số có 8 chữ số, thương số có 5 chữ số, còn số chia có 3 chữ số. Nhìn vào các hàng số tận cùng rõ ràng đây là phép chia hết. Số các chữ số trong phép tính này có đến 41 chữ số mà ta chỉ biết có mỗi chữ số 7. Bạn có thể dựa vào mỗi con số 7 khôi phục lại toàn bộ các chữ số còn bỏ trống:

Hiện tại ta có thể dùng phương pháp suy luận lôgic, lấy con số 7 làm điểm đột phá để suy ra toàn bộ các chữ số trong phép tính.

Để tiện diễn giải, chúng ta nêu toàn bộ kí hiệu phép chia dưới đây:

Trước hết xét hàng thứ ba và hàng thứ tư. Do con số có ba chữ số thì con số tối đa không quá 999, còn ba chữ số ở hàng thứ tư thì chữ số đầu nhất định không vượt quá số 8.

Chữ số thứ tư ở thương số rõ ràng là số 0 (vì con số ở hàng thứ bảy có nhiều hơn ở hàng thứ sáu hai chữ số về phía bên phải). Hiện tại vẫn chưa có cách phát hiện chữ số thứ ba ở thương số, tức con số đứng cạnh số 7 ở bên phải. Chỉ cần so sánh các hàng thứ ba, thứ tư với hàng thứ năm, hàng thứ sáu bạn sẽ phát hiện được là chữ số này phải lớn hơn 7, nên chỉ có thể là chữ số 8 hoặc chữ số 9.

Lại xét chữ số ở bên trái chữ số 7, chữ số này khi nhân với số chia sẽ được một số có bốn chữ số, còn chữ số ở bên phải số 7 khi nhân với số chia lại được một số có ba chữ số, vả lại con số có ba chữ số này phải không quá bé, không những thế phải là con số lớn hơn con số ở hàng thứ tư. Từ đó có thể đi đến phán đoán: chữ số ở bên phải số 7 phải là số 8, chữ số ở bên trái số 7 phải là số 9 và toàn bộ thương số sẽ là 97809.

Lại xét đến hàng thứ sáu. Do tích số của số chia với số 8 là một số chỉ có ba chữ số, nên có thể phán đoán số chia phải nhỏ hơn 125. Nếu như vậy ta bắt đầu thử với số 124. Lấy số 124 nhân cho 97809, sau khi tính được số bị chia ta lại thực hiện phép chia:

Đây có phải là lời giải duy nhất không? Bây giờ ta lại thử phép chia với số chia 123:

Con số trong ô chữ nhật có ba chữ số trong khi theo sơ đồ thì con số ở đó có bốn chữ số (hàng thứ năm), nên số chia 123 bị loại trừ. Rõ ràng không cần phải thử tiếp các số chia nhỏ hơn 123.

Việc từ một đầu mối mong manh mà phát hiện được toàn bộ đã cung cấp cho người ta một phương pháp suy nghĩ có ích. Gọi theo từ chuyên môn là “bài toán sâu gặm”. Ban đầu phương pháp này được dùng để phát hiện các chữ số trong tài liệu, sách vở đã bị mối, mọt gặm mất, hiện nay phương pháp đã được sử dụng rộng rãi trong khoa học kĩ thuật. Bài toán con số 7 cô độc nêu trên chính là một loại “bài toán sâu gặm”, là kiệt tác của Audling.