Thế nào là nghịch lí Russel và nghịch lí “người thợ cắt tóc”

Ngày nay lí thuyết tập hợp đã trở thành cách dẫn dắt các kết luận toán học, trở thành công cụ quan trọng cho các luận chứng toán học trong các sách toán bậc trung học. Nhiều bạn học sinh đã quen thuộc và nắm chắc lí thuyết tập hợp. Thế nhưng chắc các bạn chưa hề biết là trong quá trình phát triển lí thuyết tập hợp đã gặp phải nguy cơ nghiêm trọng thậm chí làm lung lay các cơ sở của toán học.

Vào những năm 70 của thế kỉ XIX khi các nhà toán học Đức đặt cơ sở cho lí thuyết tập hợp, các nhà toán học đã cho rằng toán học đã bước đến chỗ tuyệt vời. Trong Đại hội Toán học Quốc tế năm 1900, nhà lãnh đạo giới toán học Panjalai đã cao hứng tuyên bố: “Toán học đã đến chỗ hoàn toàn chặt chẽ”.

Thế nhưng vào năm thứ hai, nhà toán học, nhà triết học Anh Russel đã phát hiện một mâu thuẫn hết sức to lớn trong lí thuyết tập hợp.

Có thể chia tập hợp thành hai loại: Loại tập hợp thứ nhất có đặc trưng là bản thân tập hợp là phần tử của tập hợp đó. Ví như có người đương thời đã từng nói “cái mà tập hợp có chính là đã tạo nên tập hợp”. Đặc trưng thứ hai của tập hợp là: “Bản thân tập hợp không phải là phần tử của tập hợp”, ví dụ tập hợp các điểm trên một đường thẳng. Đương nhiên tập hợp chỉ có thể thuộc một trong hai loại. Bây giờ giả sử R là thuộc tập hợp thứ hai. Thế thì R có phải thuộc tập hợp đó không?

Nếu R là tập hợp loại 1: thì R phải là phần tử của tập hợp đó, nhưng theo định nghĩa R chỉ do loại tập hợp thứ hai tạo nên. Nhưng nếu R thuộc loại tập hợp loại hai, thì theo định nghĩa của R, R phải là phần tử của R và rõ ràng là R lại thuộc loại tập hợp thứ nhất. Như vậy quay đi quay lại đều khó, không có câu trả lời. Đó chính là “nghịch lí Russel nổi tiếng”.

Do nghịch lí Russel hết sức khó lí giải, nên người ta lại dùng sự việc hàng ngày để so sánh và đưa ra logic “nghịch lí người thợ cắt tóc”. Ở một thôn nọ có người thợ cắt tóc nổi tiếng với lập luận anh ta chỉ cho phép người không tự cạo mặt cạo mặt cho mình. Khi tuyên bố như vậy người thợ cắt tóc đã lâm vào thế bí: Anh ta có tự cạo mặt cho mình không? Nếu anh ta tự cạo mặt thì lại ngược lại lời tuyên bố “chỉ để cho ai không cạo mặt cạo mặt cho mình”. Nhưng nếu không cạo mặt thì lại trái với nguyên tắc “để cho người không cạo mặt mình đi cạo mặt”.

Sự phát hiện nghịch lí Russel làm lung lay cơ sở lí thuyết tập hợp và cơ sở toán học bị một chấn động rất lớn và người ta gọi đó là “nguy cơ lần thứ ba” của toán học. Để giải quyết mâu thuẫn này, các nhà toán học đã tiến hành các nỗ lực hết sức khó khăn biến lí thuyết tập hợp từ hình thức dẫn chứng tiến đến phương pháp tiên đề và năm 1908 ngài Meilor đã đưa ra phương án tiên đề hoá lí thuyết tập hợp. Tôn chỉ của ông là cần có “hạn chế về định nghĩa tập hợp” đảm bảo loại bỏ các mâu thuẫn, lại có thể bảo tồn được “các nội dung có giá trị lớn của lí thuyết tập hợp Canto”. Trong các tiên đề Meilor về tập hợp không có cách nói “cái mà tập hợp có chính là đã tạo nên tập hợp”. Phương án tiên đề hoá các cải tiến bổ sung của Flunkel và Skeland tạo nên hệ tiên đề ZF trong lí thuyết tập hợp hiện đại. Đương nhiên ngoài hệ tiên đề ZF còn có các hệ tiên đề khác.

Nghịch lí và nguy cơ không hề làm nghiêng ngả cơ sở của toán học mà trong quá trình xây dựng hệ thống tiên đề đã giúp loại bỏ các nghịch lí, lí thuyết tập hợp đã được phát triển và hoàn thiện và cơ sở của toán học ngày càng có cơ sở vững chắc.