Làm thế nào vẽ được góc vuông mà không dùng êke?

Giả sử có mảnh ván hình chữ nhật, hình chữ nhật này có hai cạnh song song đã hoàn hảo, hai cạnh đối diện còn lại lại nham nhở, làm thế nào bạn có thể tạo được một hình chữ nhật hoàn chỉnh. Để tạo hình chữ nhật, ta phải cắt đường biên nham nhở theo một đường vuông góc với hai cạnh song song, nhưng lại không có êke. Vậy làm thế nào để vẽ đường thẳng vuông góc với hai đường kia. Ta hãy lấy một chiếc thước có chia độ. Trước hết ta chọn trên đường biên AB một đoạn EF bằng 30 mm như ở hình vẽ. Sau đó dùng E và F làm tâm vẽ hai cung tròn một cung là thuộc đường có tâm tại E bán kính 50 mm và một cung thuộc vòng tròn tâm F bán kính 40 mm. Hai cung tròn sẽ cắt nhau tại điểm G. Nối FG, góc EFG = 90o. Cắt bỏ phần mảnh gỗ ở phía dưới FG ta sẽ có một đường biên hoàn chỉnh của hình chữ nhật. Dùng phương pháp tương tự ta sẽ có được đường biên phía trên hoàn chỉnh.

Thế tại sao ta khẳng định EFG =90o. Bởi vì tỉ số các cạnh EF: FG: EC = 3: 4: 5 đây là tam giác đồng dạng với tam giác vuông có ba cạnh 3, 4, 5 trong cạnh dài EG đối diện với góc vuông EFG.

Bây giờ nếu thước chia độ cũng không có thì ta sẽ làm thế nào?

Chúng ta sẽ chọn một thanh gỗ tương đối thẳng, dùng bút chì đánh dấu hai điểm M, N trên thanh gỗ (như hình vẽ). Sau đó đặt thanh gỗ trên tấm gỗ, đặt điểm M ở mép tấm gỗ. Dùng bút chì đánh dấu hai điểm P và Q ngay ở các vị trí M và N trên tấm gỗ.

Sau đó thay đổi phương của thanh gỗ. Giữ cho điểm N bất động. Cho điểm M di động trên biên của tấm gỗ. Dưới điểm M ta đánh dấu điểm R. Kéo dài RQ, trên phần kéo dài ta đặt QS = MN. Nối PS, góc RPS =90o. Dùng phương pháp đơn giản như vừa mô tả ta vẽ được đường vuông góc, cắt tấm gỗ theo đường vuông góc vừa vẽ, ta sẽ có một cạnh hình chữ nhật.

Để chứng minh RPS là góc vuông, ta nối PQ. Vì RQ = PQ = QS nên các tam giác RQP và SQP là những tam giác cân. Do đó:

RPS = RPQ + QPS =PRQ + QSP

Vì các góc RPS,PRS,RSP là các góc trong của tam giác RPS, tổng của chúng là 180o, vì vậy góc = 90o.