Số π được tính như thế nào?

Số pi (π) là gì?

Số pi là tỉ số giữa chu vi vòng tròn với đường kính. Cho dù vòng tròn có to đến mấy thì tỉ số này vẫn như vậy, nên đó là một hằng số. Trong toán học người ta gọi là số pi. π là chữ cái đầu tiên trong từ chu vi của tiếng Hy Lạp.

Trong cuộc sống hàng ngày, trong hoạt động sản xuất, số π được sử dụng rất rộng rãi và cũng là một số rất đặc biệt.

Nhưng giá trị của số π bằng bao nhiêu?

Từ xưa đến nay, không biết có bao nhiêu nhà toán học đã lao tâm khổ tứ để tính số π và tính giá trị số π ngày càng chính xác hơn. Nói chung để tính số π người ta lợi dụng chu vi của các đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp vòng tròn để thay thế gần đúng chu vi của vòng tròn. Ban đầu người ta cho rằng có thể tính được đến cùng toàn bộ giá trị của số π. Thế nhưng tính đi tính lại, càng tính lại càng thấy không thể tính được đến cùng. Mãi đến thế kỉ thứ XIX, nhà toán học Đức Lindeman (1882) mới chứng minh được số π là số vô tỉ (số thập phân vô hạn, không tuần hoàn) theo một quy tắc nhất định có thể tính đến vô hạn, không giống như phân số như 1/3, tuy là “vô tận” nhưng lại đơn giản. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét cống hiến của các nhà toán học về cách tính số π.

Từ xa xưa ở Trung Quốc đã có câu “chu vi ba, đường kính một” (tức π = 3). Ngay từ năm 100 trước Công nguyên (vào thời Tây Hán) trong sách “Chu bì toán kinh” đã có nói về vấn đề này. Đến thời Đông Hán, nhà toán học, thiên văn học Trương Hoành (năm 78- 139) đã dùng một số kì diệu là căn bậc hai của số 10 làm số π (√10 = 3,16). Đây là con số rất dễ nhớ. Vào thời Nguỵ - Tấn, nhà toán học Lưu Huy, vào năm 263 trong tác phẩm “Sách toán chín chương” đã chỉ ra rằng “Chu vi ba, đường kính một” chỉ là tỉ số giữa chu vi của hình lục giác đều nội tiếp trong vòng tròn với đường kính của vòng tròn, do đó chỉ có thể dùng để tính diện tích của hình đa giác đều 12 cạnh nội tiếp trong vòng tròn. Để tính được diện tích hình tròn chính xác hơn, ông đã sáng tạo phương pháp cắt nhỏ vòng tròn. Dùng phương pháp chia nhỏ vòng tròn ông đã tính diện tích của hình 192 cạnh đều nội tiếp trong vòng tròn và tìm được số π = 157/30 = 3,14. Về sau Lưu Huy lại tiếp tục tính diện tích của hình đa giác 3072 cạnh đều nội tiếp trong vòng tròn và tính được số π đến độ chính xác π = 3927/1250 = 3,1416. Lưu Huy đã dùng phương pháp tính diện tích của các đa giác đều nội tiếp trong vòng tròn để tìm giá trị gần đúng diện tích của hình tròn chính là quan niệm giới hạn, một sáng tạo rất lớn trong toán học.

Thành tích tính số π rực rỡ hơn là của Tổ Xung Chi thời Nam - Bắc Triều (năm 429- 500). Ông đã tính được số π là số ở giữa hai số 3,1415925 và 3,1415927, không hề có chữ số nào sai. Đây chính là số π với bảy số lẻ đầu tiên trên thế giới. Thành quả này của Tổ Xung Chi được ghi trong sách “Xuyết thuật”. Về sau Tổ Xung Chi còn đưa ra hai giá trị số π khác viết dưới dạng phân số đó là “ước số” π = 22/7 = 3,14 và “mật số” π = 355/113 = 3,1415929. ước số chính bằng số π do Archimède, nhà toán học Hy Lạp đã tính ra trước đó. Thế nhưng mật số thì mãi đến thế kỉ XVI mới được xuất hiện ở Châu Âu do nhà toán học Pháp Otto (1550 - 1605) và nhà toán học Hà Lan Antoniss (1527 - 1607) tính ra. So với Tổ Xung Chi thì muộn hơn đến hơn 1000 năm. Hiện nay có một dãy núi ở phía sau Mặt Trăng được đặt tên là Tổ Xung Chi để tỏ lòng ngưỡng mộ của thế giới đối với ông.

Từ sau thế kỉ XV, khoa học kĩ thuật ở Châu Âu phát triển hết sức mạnh mẽ. Các nhà nghiên cứu về cầu phương (tìm một hình vuông có diện tích tương đương với hình tròn) ngày càng nhiều, nhờ vậy giá trị số π ngày càng được tính chính xác hơn. Người ta cho rằng số π càng tính được với nhiều số lẻ chừng nào thì càng quí. Phát minh này đã được nhà toán học Đức Rudolph (1540 - 1610) tính ra. Qua việc tính chu vi của hình 262 cạnh đều nội tiếp, ông đã tính ra số π với 35 số lẻ, qua kiểm tra của nhà toán học không có chữ số nào bị sai. Ông thấy rất tự hào và để lại di chúc khắc 35 chữ số này lên bia mộ của ông. Vì vậy cho đến nay có người Đức vẫn gọi số π là “số Rudolph”.

Từ sau thế kỉ XVII, với sự phát triển và hoàn thiện của phép tính vi phân, tích phân, cách tính số π có sự thay đổi về bản chất. Từ việc tính số π dựa vào tính độ dài của các hình nhiều cạnh để chuyển sang việc tính tổng các chuỗi số giảm dần. Đây là phương pháp tính toán dựa vào khai triển theo cấp số của các hàm lượng giác ngược.

Ví dụ: Hàm arctan

(|x| ≤ 1)

Và chú rằng arctan 1 = π/4. Trong công thức trên nếu

x = 1 ta sẽ thu được công thức Leibnitz

Đây là cách dùng chuỗi số vô hạn để tính số π đơn giản nhất, nhưng rất khó tính toán vì các số hạng giảm dần với tốc độ rất nhỏ, cho dù dùng số các số hạng của chuỗi đến rất lớn. Do vậy người ta đã không ngừng đi sâu tìm các hàm số lượng giác ngược có thể tìm được công thức tính số π hữu hiệu nhất. Ví dụ các công thức.

Nhờ các thành quả của phép tính vi phân, tích phân, việc tính số π đã bước vào thời kì mới. Số các con số lẻ sau dấu phảy được tăng rất nhanh: Vào năm 1706 đạt đến 100 chữ số (Martin), năm 1794 đến 140 chữ số (Weija), năm 1824 đến 152 chữ số (Rutherford), năm 1844 đạt đến 205 chữ số (Daize), năm 1853 đến 400 chữ số (Rutherford), năm 1855 đã đến 500 chữ số (Leibauder). Kỉ lục về số π ở cuối thế kỉ XIX do một nhà toán học Anh W. Schanks có 707 chữ số thập phân, tính và công bố vào năm 1874. Điều cần chú ý là số π do ông tính được chỉ chính xác đến chữ số 528, còn các chữ số phía sau thì sai. Đến năm 1947 số π được tính đến 808 chữ số lẻ (Fuchlin). Đó là kỉ lục cao nhất được ghi lại trước khi máy tính điện tử ra đời.

Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, việc dùng máy tính điện tử đã làm cho số chữ số lẻ thập phân của số π tăng nhanh với tốc độ kinh người. Ngay từ năm 1949 đã có người trong vòng một ngày đêm đã tính được số π với 2048 chữ số lẻ (trong đó có 2037 chữ số chính xác); đến năm 1967, số π đã có 50 vạn chữ số, năm 1988 đạt đến 200 triệu chữ số, năm 1989 đến 1 tỉ chữ số.

Việc tính số π đến độ chính xác như vậy thì tổ tiên của chúng ta thật khó mà nghĩ tới và vượt ra mọi khuôn khổ cho các ứng dựng vào thực tiễn. Các tính toán như thế này chứng tỏ tính kì lạ của số π, không phải để chứng tỏ khả năng của máy tính.