Vì sao nói trong âm nhạc cũng cần đến toán học?

Chúng ta đều biết âm thanh là do chấn động sinh ra, âm thanh cao hay thấp là do tần số của chấn động quyết định. Nét đẹp của một khúc nhạc là “giai điệu”, là sự phối hợp lẫn nhau giữa nhiều âm thanh về độ dài, cường độ hoặc phát ra đồng thời hoặc theo thứ tự trước sau đem lại. Giai điệu là sự cảm nhận về tâm lí, nhưng người ta cũng nhanh chóng nhận ra cơ sở vật chất thực sự của giai điệu. Hoặc nếu dùng toán học để giải thích: khi hai hoặc nhiều âm thanh có tỉ số các tần số là tỉ số của hai số nguyên tối giản thì chúng là giai điệu. Tỉ số tối giản đương nhiên là 1/2. Trong âm nhạc, nếu tỉ số tần số hai âm thanh bằng 1/2 thì âm thanh có tần số cao là âm có cùng tên và cách nhau một bát độ hay còn gọi là quãng tám. Như âm (nốt) đô và âm có tần số cao gấp đôi là âm “đố” là hai âm có tên như nhau nhưng âm đố có độ cao cao hơn âm đô một quãng tám. Xét về tính đơn giản thì tỉ số 2/3 đứng sau tỉ số 1/2. Âm thanh có tần số gấp 3/2 lần tần số âm đô là âm sol...Theo cùng một ý tưởng đó, loài người đã phát minh ra âm giai bảy âm trong âm nhạc gọi là “âm luật” bảy âm. Trong bảng dưới đây sẽ dẫn ra tần số âm giai bảy âm trong “âm luật” bảy âm (giả thiết tần số âm đô là 520 hec, các tần số chỉ ghi phần chẵn, bỏ qua phần lẻ) cũng như tỉ số giữa tần số các âm so với âm “đô” tương ứng:

Từ bảng này chúng ta thấy các hợp âm thường dùng trong âm nhạc là nhóm ba âm (nốt), ba âm này tập hợp thành nhóm ba nốt gọi là hợp âm (ví dụ các hợp âm đô - mi - sol và sol - si - rê), tỉ số các tần số ba âm trong hợp âm tỉ lệ với 4: 5: 6 là những hợp âm tạo nên cảm giác hùng mạnh, trong sáng. Hợp âm khác cho cảm giác đẹp đẽ, thâm trầm, tinh tế là các hợp âm la - đố - mí và mi - sol - si có tỉ số các tần số tỉ lệ với 3 số 10: 12: 15. Các loại hợp âm tạo thành có các tỉ số tần số của chung tỉ lệ với các tỉ số đơn giản như trên tạo nên cảm giác êm tai, hết sức dễ chịu.

“Âm luật” âm giai bảy âm được phát minh ở Trung Quốc khoảng 1200 năm trước Công nguyên vào thời vua Vũ Vương nhà Chu. Về sau ở Trung Quốc còn phát minh quy tắc hết sức đơn giản để tính tần số các nốt trong âm giai, đó là phương pháp “chia ba kết hợp tăng giảm” được người đời sau cho là một phát hiện tài tình trong lịch sử âm nhạc. Phương pháp tính tần số các nốt trong âm giai theo quy tắc “chia ba - tăng - giảm” được thực hiện như sau: chọn một dây đàn phát ra âm “đô” khi dùng cả độ dài của dây. Cắt bỏ 1/3 độ dài của dây (“chia ba bỏ 1”) còn lại 2/3, tần số của âm do dây mới phát ra sẽ là 3/2 tần số âm “đô”, đó chính là âm “sol” (nốt sol). Lại lấy dây phát âm sol làm gốc, tăng độ dài của dây 1/3(tức “chia ba tăng một”) nghĩa là dây mới có độ dài bằng 4/3 độ dài dây phát âm sol, tần số do dây mới phát ra chỉ bằng 3/4 tần số âm sol, tức dây mới phát ra âm “rê”. So với âm “đô” thì âm “rê” có tần số 3/2 x 3/4 = 9/8; sau đó lại “chia ba bớt một” ta lại được âm “la”, tiếp tục “chia ba tăng một” ta được âm “mi”...Như vậy bằng cách sử dụng xen kẽ quy tắc “chia ba - tăng - giảm” ta có thể nhận được tần số toàn bộ các nốt trong âm giai theo “âm luật bảy âm”. Tính toán tần số theo quy tắc này so với âm luật bảy âm, chỉ mắc sai số nhỏ hơn 2,5%.

Âm luật của âm giai bảy âm giải quyết rất tốt vấn đề “giai âm” nhưng không giải quyết được vấn đề chuyển âm điệu, bởi vì khi thực hiện chuyển âm điệu sẽ xuất hiện các tần số so với tần số giai điệu gốc có sự khác biệt nhỏ. Để giải quyết vấn đề chuyển âm điệu mà vẫn bảo đảm được tần số cơ bản của âm giai theo âm luật bảy âm, người ta phát minh quy tắc “luật bình quân mười hai”. Theo luật này, người ta chia quãng tám từ đô đến đố thành 12 bán âm bằng nhau (bình quân theo 12). Từ đó ta có các âm giai các bán âm là: đô, đô# (đô thăng), rê, rê#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, sib (si giáng), si và đố. (Dấu # gọi là dấu thăng biểu thị âm có dấu thăng được tăng độ cao một bán âm; dấu b là dấu giáng biểu thị âm có dấu b giảm độ cao một bán âm, đương nhiên là ví dụ Đo# = Reb vv...). Ở đây dùng thuật ngữ bình quân theo nghĩa là trung bình nhân, nghĩa là tỉ số của một tần số âm nào đó với một tần số của âm đứng liền trước đó đều bằng nhau. Người ta dễ dàng tính được tỉ số này là 12√2 = 1,059463. Dưới đây trình bày tần số các âm (nốt) trong âm giai tính theo âm luật bảy âm và “luật bình quân theo 12”. So sánh tần số các nốt tính theo hai âm luật ta thấy chúng sai khác nhau trong khoảng 0,8%.

Các loại đàn như Pianô, thụ cầm (đàn harpe) có các nốt ấn định độ cao theo luật “bình quân theo 12”, còn độ cao của sáo đồng có độ cao các nốt theo âm luật bảy âm. Do các nốt của hai loại âm giai có tần số không khác nhau nhiều nên cả hai loại nhạc khí đều có thể hoà tấu với nhau trong dàn nhạc.