Vì sao trong cuộc sống hằng ngày người ta lại dùng hệ đếm thập phân?

Số tự nhiên được ra đời một cách hết sức “tự nhiên”. Từ thời xa xưa nhân dân lao động cần đếm số súc vật bắt được “1, 2, 3, 4,...” dần dần xuất hiện số tự nhiên. Thế nhưng làm thế nào để gọi tên và ghi lại từng số tự nhiên riêng biệt thì lại là vấn đề không tự nhiên chút nào. Khi người ta nhận biết các số đến “10” và dùng các tên gọi và ghi từng số riêng biệt thì là việc không khó lắm. Thế nhưng khi người ta biết đếm đến số “trăm”, “ngàn”, “vạn” thì nếu cứ theo cách cũ mà gọi tên chúng là “một trăm cái, một ngàn cái, một vạn cái và dùng các kí hiệu riêng biệt để ghi lại thì hầu như trở nên không thể được. Đã không ít người lao tâm khổ tứ tìm cách gọi tên và tìm các kí hiệu để ghi lại, thì ngay bản thân họ cũng không nhớ và ghi được chính xác các kí hiệu đó, chưa nói là dùng chúng trong việc tính toán. Trong tình hình đó việc tìm ra cách ghi và gọi tên theo cách thức “hệ đếm theo cơ số” là một phát minh vĩ đại.

Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, hệ đếm theo cơ số là nếu chọn trước một số tự nhiên p > 1 và nếu có một số tự nhiên A thoả mãn điều kiện pn ≤ A ≤ pn+1, ta có thể biểu diễn A dưới dạng:

trong đó 0 ≤ ai ≤ p

Vì p quyết định bước tiến của dãy số nên người ta gọi p là cơ số của hệ đếm. Nếu chọn trước p số tự nhiên và ghi theo thứ tự từ 0 đến p-1, trong đó p là cơ số của hệ đếm tự nhiên thì ta có thể dùng phương pháp “ghi số theo vị trí” và số A đã cho ở trên có thể viết thành A = anan-1...a1a0, trong đó ai là một trong p kí hiệu đã chọn. Phương pháp “ghi theo vị trí” được phát minh sớm nhất ở Trung Quốc, là một trong những cống hiến quan trọng của các nhà toán học cổ Trung Quốc.

Cách mô tả vừa trình bày trên đây quả thực không dễ hiểu lắm. Thế nhưng các bạn hãy tưởng tượng p được chọn là 10. Bây giờ chúng ta dùng các con số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là các kí hiệu các chữ số từ 0 đến 10. Dùng các chữ số này ta có thể ghi bất kì số tự nhiên nào theo phương pháp “ghi theo vị trí”. Ví dụ với số 347804, thực tế đây chính là số:

4 + 0 × 10 + 8 × 102 + 7 × 103 + 4 × 104 + 3 × 105

Dễ dàng nhận thấy điều kì diệu của hệ đếm theo cơ số là có thể dùng một số hữu hạn các kí hiệu để biểu diễn vô hạn các số lớn đến bao nhiêu cũng được, cũng như dễ dàng nhận biết các số lớn nhỏ và rất tiện lợi khi thực hiện các phép toán số học. Việc phát minh hệ đếm theo cơ số làm cho nhận thức của loài người với các con số đạt đến một trình độ mới.

Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy có thể dùng bất kì một số tự nhiên p bất kì để làm cơ số cho một hệ đếm nhưng thông thường trong cuộc sống hằng ngày người ta vẫn hay dùng “hệ đếm cơ số 10” hay “hệ đếm thập phân”. Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy là người xưa chắc đã không dùng cách mô tả trừu tượng như đã trình bày ở trên để định nghĩa hệ đếm thập phân. Thế tại sao hệ đếm thập phân lại được toàn thể loài người chấp nhận ngay từ đầu?

Thực ra điều này có lí do hết sức đơn giản, đó là do hai tay của chúng ta có 10 ngón.

Trong thời đại xa xưa, trình độ sản xuất vốn rất thấp, chỉ cần những số đếm đơn giản, 10 ngón tay tự nhiên trở thành một “máy tính” sớm nhất. Trong sách xưa từng có thành ngữ “đếm trên đầu ngón tay” (co ngón tay để đếm) nên có thể thấy “co ngón tay” đếm số là cách đếm ra đời sớm nhất. Thói quen này vẫn còn vết tích trong đời sống xã hội ngày nay: Các em nhỏ ở các vườn trẻ vẫn thường dùng ngón tay để đếm số; những người lớn khi nói chuyện với nhau vẫn dùng các ngón tay để ra dấu về các con số nào đó. Khi trình độ sản xuất đạt đến trình độ cao, thành tựu lao động đã đạt đến số lớn và vượt qua con số 10. Bấy giờ việc dùng “ngón tay đếm số” đã không còn thích hợp nữa. Thế nhưng con người vẫn chưa từ bỏ thói quen dùng ngón tay để đếm số và thường thuận tay dùng ngón tay để làm “máy tính” với việc có thể dùng thêm công cụ để trợ giúp, ví dụ có thể dùng những viên đá, cành cây thay thế khi các ngón tay đã sử dụng hết để có thể dùng lại các ngón tay để đếm. Sau nhiều lần lặp đi, lặp lại cách tính toán, tổng kết kinh nghiệm, loài người đã phát minh hệ đếm thập phân.

Như vậy có thể thấy tổ tiên của con người, do nhu cầu của đời sống, sản xuất, xuất phát từ điều kiện của bản thân mình, không ngừng tích luỹ kinh nghiệm, tổng kết kinh nghiệm mà đã phát minh hệ đếm thập phân. Do hệ đếm thập phân có mối liên hệ tự nhiên với cuộc sống, nên đã được xã hội loài người tiếp thu, truyền bá và trở thành một bộ phận không thể tách rời với cuộc sống của chúng ta.

Trong lịch sử xã hội loài người, người ta còn thấy có nhiều hệ đếm khác. Ví dụ khi nói đến việc đo độ, người ta hay dùng “hệ đếm cơ số 60”; một độ có 60 phút, một phút có 60 giây; Trong hệ thống cân đo cũ ở Trung Quốc, người ta dùng đơn vị một cân có 16 lạng - đó là “hệ đếm cơ số 16”; trong bát quái dùng cả hai hệ đếm “nhị phân” và “hệ đếm cơ số 8”. Ở một số nước còn có “hệ đếm cơ số 12”: cứ 12 vật phẩm gọi là một tá, 12 tá gọi là một “rá”. Đương nhiên là các hệ đếm vừa kể chỉ được sử dụng trong một số lĩnh vực hẹp và hạn chế (về không gian, địa điểm), không được hoàn thiện và rộng rãi như hệ đếm thập phân.

Ngày nay loài người đã bước vào thời đại của các máy tính điện tử, thời đại của công nghệ thông tin. Điều dễ cảm nhận là máy tính điện tử không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập phân như ở con người với hệ đếm thập phân, máy tính điện tử lại có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm cơ số hai hay hệ đếm nhị phân.