Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Ở vùng Nam Cực, Bắc Cực có cây sống không?

Trên Trái Đất, vùng cách xích đạo về phía Nam 66,5o trở đi là vùng Nam Cực, cách xích đạo về phía Bắc 66,5o trở đi là vùng Bắc Cực. Nam Cực là một...

Tại sao rồng có cánh thân hình to lớn như vậy lại có thể bay lượn trên không trung?

Khi khủng long ở trên Trái Đất còn xưng vương xưng bá, có một loài động vật bò sát gọi là rồng có cánh đã chiếm giữ một không gian rộng lớn.

Vì sao rác thải vũ trụ uy hiếp hoạt động vũ trụ?

Từ ngày nhân loại bắt đầu hoạt động khám phá vũ trụ đến nay, xác của tên lửa, các thiết bị vũ trụ sau khi phóng lên không làm việc nữa, tự nổ phá huỷ...

Tại sao rác cũng có thể dùng làm nhà?

Trên thế giới hiện nay, dân số ngày càng đông, tài nguyên thiên nhiên ngày càng cạn kiệt, trái lại rác do sản xuất công nghiệp và quá trình sinh hoạt...

Các hành tinh trong vũ trụ liệu có va vào nhau?

Nếu Trái Đất ở rất gần các hành tinh khác và chúng chuyển động ngược chiều nhau thì khả năng đụng độ rất dễ xảy ra. Nhưng thực tế, Trái Đất và các...

Vì sao khi máy bay cất cánh hoặc hạ cánh, thính lực của hành khách biến đổi?

Những người từng đi máy bay thường có cảm giác sau: khi máy bay cất cánh và hạ cánh, lỗ tai như có vật gì nút chặt, những âm thanh chung quanh trở nên...

Tại sao trên cùng một bắp ngô lại có những hạt màu sắc khác nhau?

Khi thu hoạch ngô, có lúc bạn phát hiện trên cùng một bắp ngô thường có mấy hạt ngô không cùng màu, màu trắng, màu vàng, màu đỏ, trông rất đẹp. Có...

Chuyện lạ của âm thanh

Khi nhai kẹo giòn, ta nghe thấy những tiếng động inh ỏi trong tai, trong khi những người ngồi bên cạnh cũng đang nhai thứ kẹo ấy mà lại chẳng phát ra...

Tại sao trên đường cao tốc không có đèn đường?

Vào ban đêm, khi đi ô tô trên đường cao tốc, bạn sẽ thấy các ô tô chạy ở phía trước đủ màu sắc rực rỡ, những biển báo bên đường sáng lấp lánh như đèn...