Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Tại sao Tháp nghiêng Pisa không đổ?

Mọi người đều biết đến tháp nghiêng Pisa nổi tiếng thế giới ở Ý. Tháp Pisa không phải do con người cố tình làm nghiêng, mà là do nền móng sau khi tháp được xây dựng bị lún sụt.

Các kiến trúc cao tầng chống gió như thế nào?

Tục ngữ có câu "cây to gió lớn". Kiến trúc cao tầng giống như một cây cực kỳ cao to, ảnh hưởng của gió đối với nó là rất lớn, đối với kiến trúc cao 50...

Trên thế giới thực tế có bao nhiêu loài sinh vật?

Tính từ khi Trái Đất ra đời, trên Trái Đất tổng cộng đã xuất hiện khoảng 500 triệu đến một tỉ loài vật. 98% loài vật này đều bị tiêu diệt vì thiên tai...

Trái đất có từ bao giờ?

Hệ Mặt trời được hình thành từ đám “tinh vân nguyên thuỷ” có dạng hình đĩa tròn xoay vòng với nhiệt độ cao tới 2.000 độ C trên vị trí của Trái đất.

Làm thế nào biểu diễn một số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số?

Tất cả các phân số đều là các số lẻ thập phân hữu hạn, hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Các số lẻ có một số hữu hạn các chữ số gọi là số lẻ thập...

Bầy sói khác đàn gặp nhau sẽ làm gì?

Thông thường thì hai đàn sói do không biết rõ về đối phương, chúng sẽ doạ dẫm lẫn nhau nhằm trấn áp đối phương.

Vì sao phải phóng máy từ phổ α vào vũ trụ?

Máy từ phổ α do Đinh Khải Trung - nhà vật lý nổi tiếng gốc Hoa quốc tịch Mỹ được Giải thưởng Nôben vật lý khởi xướng, gần 200 nhà vật lý và kĩ sư, kĩ...

Tại sao trong trai, sò có ngọc?

Cái nôi sinh ra hạt trân châu là loài động vật nhuyễn thể như con sò, trai ngọc biển và trai nước ngọt. Có nhiều người nghĩ trai, sò càng lớn thì hạt trân châu bên trong chúng càng to...

Gấu trúc (gấu mèo) có thể tuyệt chủng không?

Thời kì đầu những năm 80 của thế kỉ XX, nơi cư trú chủ yếu của gấu trúc - vùng Mân Sơn phía Tây Bắc tỉnh Tứ Xuyên đã xảy ra sự kiện: loại trúc mũi tên...