Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Côn trùng có những điểm đặc biệt nào?

Động vật sống trên Trái Đất của chúng ta, tổng cộng có khoảng 1,2 triệu loài, chúng bao gồm cá bơi dưới nước, chim bay trên trời, thú dưới mặt đất, nhưng số lượng động vật chiếm nhiều nhất là các loài côn trùng.

Vì sao vào ngày nắng to có nhiêu người ngộ nắng?

Mùa hè, dưới ánh nắng chói chang, nếu không được che mát, lại đi bộ, vận động hoặc làm việc một thời gian dài ngoài trời, bạn có thể đột nhiên bị ngã...

Tại sao hàng ngàn hàng vạn người cùng làm việc trên một mạng mà không bị rối loạn?

Xã hội loài người đã bước vào thể kỷ XXI bằng bước đi vững chắc, một thời đại thông tin mới mẻ đã đến, làn sóng xây dựng xa lộ thông tin toàn cầu đang...

Hành trình của sao Băng

Ban đêm, trên bẩu trời thỉnh thoảng lại loé sáng tiếp đó một vật sáng trắng hình thành cánh cung rạch ngang bẩu trời và biến đi rất nhanh. Những người...

Tàu chở dầu siêu cấp có những ưu điểm và nhược điểm gì?

Nói đến tàu thuỷ, người ta thường kinh ngạc thốt lên trước sự đồ sộ to lớn của con tàu vạn tấn. Tuy nhiên, từ những năm 60 của thế kỷ XX, trên mặt...

Tại sao dưa hấu có thể biến thành đạn pháo?

Dưa hấu có thể so sánh với đạn pháo được chăng? Không phải là anh đang pha trò đấy chứ?

Bí quyết leo giàn của cây xanh

Bí, mướp, dưa chuột, dây trường xuân, nho… rất có tài leo trèo. Chỉ cần móc được vào một thân cây, que củi hay thậm chí cột điện, chúng sẽ thoăn thoắt...

Thế nào là phao báo biển?

Đi tàu trên biển có lúc ta sẽ nhìn thấy trong biển cả mênh mông nổi lên một vật giống như đèn báo hàng hải. Nó cách xa đất liền.

Chuột có thể chui vào trong mũi của voi hay không?

Điều kì lạ là hiện nay có rất nhiều người cho rằng, sư tử và hổ tuy không đánh được voi, nhưng con chuột bé nhỏ lại có thể thuần phục được khắc tinh của mình là con voi to lớn này.