Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Tại sao cây lau trúc vừa không thuộc loài lau sậy vừa không thuộc loài tre trúc?

Có một loài thực vật vừa giống lau sậy lại vừa giống tre, nói nó giống lau là vì xét về ngoại hình; nói nó giống tre, vì khi thân lớn già đi cứng,...

Vì sao dưới bồn địa Talimu khô ráo lại có nhiều nước ngầm?

Bồn địa lớn nhất Trung Quốc - miền Trung bồn địa Talimu là sa mạc Takhơlamakan. Ở Duy Ngô Nhĩ, Takhơlamakan có nghĩa là "vào mà không ra được".

Sao mạch xung là gì?

Mùa thu năm 1967 cô nghiên cứu sinh Bell và giáo sư Hewish Khoa thiên văn Trường đại học Liuser của nước Anh khi quan sát thiên văn đã phát hiện một...

Vì sao trong cây có điện?

Một số hoạt động sống trong cơ thể sinh vật tạo ra điện trường và dòng điện, gọi là điện sinh vật. Ở một số động vật, hiện tượng này rất rõ, ví dụ cá...

Bài toán “nhóm 6 người” là gì?

Trong cuộc thi Olympic toán quốc tế năm 1947 ở Hungari có một bài toán như sau: Chứng minh rằng trong một nhóm sáu người bất kì ít nhất có ba đã từng...

Vì sao dấu ấn đỏ không bị nhạt màu?

Có những bức hoạ cổ hoặc do thời gian đã quá lâu, hoặc do bảo quản không tốt, màu sắc tờ giấy có thể thay đổi. Thế nhưng dấu ấn của tác giả đóng trên...

Vì sao rùa biển chết hàng loạt?

Năm 1983, nhiều nơi trên thế giới người ta bỗng phát hiện thấy rùa biển chết hàng loạt. Có phải vì chúng thiếu thức ăn nên bị chết đói không?

Vì sao băng ở Nam Cực nhiều hơn Bắc Cực?

Nam Cực và Bắc Cực là những vùng lạnh nhất trên Trái Đất. Ở đó quanh năm gió lạnh thổi ù ù, đầy trời băng tuyết, là một thế giới màu trắng bạc.

Tại sao thông tin trở thành căn cứ của quyết sách?

Vào cuối thu năm 1794, khi Napôlêông đưa quân vào Hà Lan, Hà Lan đã cho mở các cửa đập của các con sông để ngăn chặn bước tiến của đại quân Pháp do...