Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Chồn sóc là loài thú có lợi hay có hại?

Chồn sóc tên gọi là chồn chó, là một loài thú nhỏ ăn thịt. Ban ngày chúng sống ở mồ mả, hốc tường, đống củi..., buổi tối ra ngoài hoạt động kiếm mồi.

Tại sao đeo dù giúp chúng ta hạ cánh an toàn?

Với các máy bay chiến đấu, khi bị trúng đạn, phi công bắt buộc phải tìm cách thoát khỏi máy bay. Nếu rơi từ độ cao hàng ngàn mét xuống đất, con người không tránh khỏi cái chết...

Xoáy nước xuất hiện như thế nào?

Nước sông đang chảy xiết, khi tới trụ cầu thì bị cản, nên phải lùi lại sau. Nhưng phía sau lại là dòng nước đang cuồn cuộn chảy tới, kéo nó chảy theo.

Vì sao phải khai thác loại nhựa tự phân hủy?

Đồ nhựa là sản phẩm quan trọng không thể thiếu được trong sản xuất công, nông nghiệp và cuộc sống hàng ngày. Trong khi nhựa đem lại nguồn nguyên liệu...

Vì sao đo độ cao của núi phải lấy mặt biển làm chuẩn?

Đỉnh núi Chômôlungma (Everet) cao 8.844,13 m.

Vì sao hồ chứa nước có thể trữ được điện?

Điện được sử dụng rất rộng rãi, nhưng chúng ta đều biết điện không thể trữ được, đây chính là một nhược điểm rất lớn của nó.

Tại sao nước không thể cháy được?

Vấn đề này xem ra có vẻ hơi thừa. Nước không thể cháy được, đây là điều mà ai cũng biết.

Vì sao nhà vua không đủ lúa để thưởng cho thuật sĩ?

Truyền thuyết xưa kể lại rằng: Có một thuật sĩ đã phát minh cho quốc vương nọ một bàn cờ và cách chơi cờ hết sức lí thú. Nhà vua muốn thưởng cho thuật...

Vì sao khi đo góc và đo thời gian lại dùng đơn vị đo theo hệ cơ số 60?

Đơn vị đo thời gian là giờ, đơn vị đo góc là độ, nhìn bề ngoài chúng không hề có mối liên quan gì với nhau. Thế tại sao chúng lại được chia thành các...