Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?

Bài toán này gần như khá đơn giản: có thể dùng phương pháp tính trực tiếp là tìm ra. Các cách tính toán được sẽ là:

1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu. Chỉ có một cách.

2. Dùng đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu. Việc sử dụng đồng 2 xu có thể dùng từng đồng kết hợp với đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu kết hợp, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp đồng 1 xu và dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.

3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với dùng năm đồng 1 xu; dùng một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; dùng hai đồng 2 xu và 1 đồng một xu. Như vậy có tất cả ba cách.

4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.

Theo như mô tả tổng số cách sắp xếp sẽ là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.

Thế nhưng ngoài cách phân tích trực tiếp như trên liệu còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 của công thức dưới đây:

(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).

(1 + x + x2 +x4 + x6 + x8 +x10).

1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +...A10x10 +...+ x30

Thế A10 bằng bao nhiêu vậy?

1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1, ở nhân tử thứ 3 là số hạng chứa x10, các luỹ thừa x2 nhân với x8 và x4 nhân với x6 đều được x10 tất cả có sáu số hạng chứa x10.

2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu, với ở nhân tử thứ 3 ta cũng thu được x10. Bởi vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các luỹ thừa của x đều là số chẵn nên chỉ có x5 và x3 và x2, x1 và x4 là 3 cách tạo được x5, nên ta chỉ có 3x10.

3. Cuối cùng số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 là được một số hạng chứa x10. Tổng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả ở trên ta có

Ta lặp lại kết quả đã nhận được ở phương pháp phân tích trực tiếp trên kia.

Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Phương pháp quan trọng này được nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơle đưa ra.

Nếu như cần tìm cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng (100 xu) hỏi phải có bao nhiêu cách sắp xếp, với trường hợp này việc tính dựa vào phân tích trực tiếp đã trở nên rất khó khăn. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc” ta sẽ có công thức.

(1 + x + x2 + x3 +...+x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)

(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)

(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)

Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác máy móc này, nhờ các máy tính điện tử ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được giải pháp.

Vì sao việc tập cho mắt có thể giúp đề phòng cận thị?

Một đôi mắt bình thường vì sao dần dần lại biến thành cận thị? Nguyên nhân chủ yếu là bệnh nhân không dùng mắt hợp quy tắc vệ sinh. Nếu trong một thời...

Thế nào là thành phố điền viên?

Trong nhiều đô thị lớn hiện đại, nhà cao tầng ngày càng nhiều, dân số càng đông đúc, giao thông ngày càng chen chúc chật chội, do đó đã mang lại những...

Vì sao khi ăn kẹo hoa quả bạn lại thấy có mùi hoa quả?

Khi ăn kẹo hoa quả như kẹo táo, kẹo chuối, kẹo hạnh nhân, bạn cảm thấy có mùi hoa quả tương ứng.

Các loại đèn chớp sáng cũ và mới có gì khác nhau?

Hơn nửa thế kỷ trước, các phóng viên, ký giả thường dùng các loại đèn chớp sáng (đèn flash), nghe một tiếng "tách" là phát ra tia chớp sáng loé mắt....

Vì sao gió thổi lúc mạnh lúc nhẹ?

Gió thổi thường có trận mạnh trận yếu, rất ít khi gió tiến lên phía trước cùng một tốc độ. Trong bản tin khí tượng, báo cáo sức gió to nhỏ thường cấp...

Tại sao đồng tiền kim loại lại có thề nổi trên mặt nước?

Các loại chất lỏng thường chịu tác dụng của sức căng bề mặt, làm cho bề mặt bị kéo căng ra như da.

Vì sao các rạp chiếu phim thường bán bỏng ngô?

Bất cứ ai đến rạp chiếu lại không chết mê món bắp rang bơ vừa thơm ngon vừa vui miệng. Thế nhưng tại sao tất cả các rạp chiếu phim lại chọn bán món này bắp rang bơ mà không phải thứ đồ ăn vặt nào khác?

Vì sao thuốc có thể ảnh hưởng xấu đến dinh dưỡng?

Thuốc là loại vũ khí có uy lực giúp con người đấu tranh với bệnh tật. Thuốc giúp chữa bệnh bằng cách tác động trực tiếp đến cơ thể hoặc khống chế sự...

Tại sao một số kỷ lục cao nhất trên thế giới được gọi là “Kỷ lục thế giới Guiness”?

Guiness vốn là tên một xưởng làm rượu. Xưởng này đã có tới hơn 200 năm lịch sử.