Có phải các phương trình đều có thể giải bằng công thức không?

Nhiều người thích dùng công thức khi giải các phương trình vì chỉ cần theo các quá trình và quy phạm không cần phải tốn nhiều suy nghĩ. Ví như giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (trong đó a ≠ 0) ta chỉ cần dùng công thức:

ta có thể đưa ra hai nghiệm của phương trình. Vì vậy trong thời gian dài, người ta bỏ công tìm các công thức để giải phương trình các bậc, và trở thành một vấn đề quan tâm trọng điểm của đại số học.

Vào năm 1535, nhà toán học Italia lần đầu tiên tìm ra công thức để giải phương trình bậc ba. Họ tìm cách biến đổi phương trình bậc ba thành phương trình bậc hai, sau đó nhờ giải phương trình để tìm các nghiệm. Nhờ ý tưởng của phương pháp này, về sau nhà toán học Italia Ferali đã tìm công thức để giải phương trình bậc 4 và lần nữa chứng minh tính hữu hiệu của ý tưởng này.

Như vậy các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn đều có thể giải qua các công thức. Vậy với các phương trình bậc năm, bậc sáu và bậc cao hơn có thể dùng công thức để giải được không? Xuất phát từ nhận thức này từ thế kỉ XVII trở đi, các nhà toán học đều ra sức tìm các công thức để giải các phương trình bậc năm và bậc cao hơn.

Có điều lạ là vào thế kỉ XVI, nhà toán học Ferali 20 tuổi, không tốn nhiều thời gian lắm đã tìm ra công thức giải phương trình bậc bốn, điều mà trong suốt hai thế kỉ XVI, XVII không ít nhà toán học tài ba đã nghiên cứu mong tìm cách giải phương trình cao hơn một bậc là phương trình bậc năm nhưng không tìm thấy công thức.

Thế có phải với các phương trình từ bậc 5 trở lên không giải được bằng công thức? Vấn đề này được đặt ra vào năm 1824. Nhà toán học Na uy 22 tuổi là Abel sau bốn năm nỗ lực đã chứng minh: với các phương trình có bậc bằng 5 hoặc lớn hơn không thể biểu diễn các nghiệm của chúng qua các hệ số bằng các phép tính số học cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, luỹ thừa..). Từ đó vấn đề tìm công thức để giải phương trình bậc cao từ bậc 5 trở đi mới kết thúc.

Thế nhưng lí luận về giải các phương trình chưa chấm dứt. Những kết quả của Abel không hề nói là không có công thức để biểu diễn các phương trình có bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Ví dụ với phương trình x5 = N, với phương trình đơn giản này ta có thể tính trực tiếp nghiệm bằng phép toán khai căn. Do đó vấn đề được đẩy lên một bước mới. Các nhà toán học đưa ra luận đề với phương trình bậc cao phải có dạng như thế nào thì có thể biểu diễn nghiệm qua các hệ số phương trình thông qua các phép toán số học? So với luận đề trước đây, vấn đề đặt ra ở đây đã sâu sắc hơn.

Vào năm 1831, nhà toán học Pháp 20 tuổi là Galois đã đưa ra một hình thức trả lời vấn đề đặt ra một cách sắc bén và nhanh chóng. Galois đã xây dựng nên lí thuyết nhóm Galois là cơ sở cho đại số học hiện đại. Dựa vào lí thuyết nhóm Galois, Galois đã đưa ra điều kiện để một phương trình đại số bậc cao có thể giải được bằng căn thức đó là “phán đoán Galois”. Từ “phán đoán Galois” cũng đi đến kết luận là các phương trình tổng quát bậc lớn hơn hoặc bằng 5 (bậc n ≥ 5) không giải được bằng căn thức. Từ đó có thể thấy rằng định lí Abel chỉ là một hệ quả của lí thuyết Galois.

Vì sao lại có “hàng rào xanh”?

Mọi người đều đã nghe nói về hàng rào mậu dịch. Hàng rào mậu dịch là chỉ trong quan hệ mậu dịch quốc tế, những nước nhập khẩu vì lợi ích của nước mình...

Vì sao những hạt nước trên lá sen đều là những giọt nước nhỏ tròn vo?

Bạn đã từng chú ý đến sự việc này chưa? Mùa hè các hạt nước rơi xuống lá sen, chúng sẽ biến thành từng giọt, từng giọt nước nhỏ long lanh trong suốt. Chúng lăn qua lăn lại trên lá sen như những viên ngọc trai lăn trong khay vậy.

Máu chảy trong cơ thể như thế nào?

Máu tuần hoàn trong cơ thể, thậm chí lúc ngủ cũng không ngừng chảy. Vậy quy luật lưu động của máu như thế nào? Như ta đã biết, máu là chất lỏng giống...

Giải thưởng quốc tế về toán học là gì?

Nobel là giải thưởng khoa học kĩ thuật quốc tế danh vọng lớn nhất thế giới. Đây là giải thưởng được Nobel, nhà hoá học lừng danh đem một phần di sản...

Các tiểu hành tinh được phát hiện như thế nào?

Khi nghiên cứu quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, các nhà khoa học đã phát hiện một sự kiện rất thú vị. Họ phát hiện các hành tinh không...

Ngủ đông có thể giúp kéo dài tuổi thọ không?

Hàng trăm, hàng nghìn năm nay, nhân loại luôn đi tìm phương thuốc bí mật để kéo dài tuổi thọ, thậm chí mong rằng mình sẽ trường sinh bất lão, sống mãi...

Vì sao đường chuyển dời của gió lốc có quy luật nhất định?

Khi theo dõi liên tục vị trí trung tâm gió lốc (áp thấp) chuyển dời và ghi lại trên bản đồ, bạn sẽ phát hiện thấy: đường đi của trung tâm gió lốc tuy...

Vì sao đàn ông lấy vợ?

Tại sao và điều gì khiến cho một anh chàng tự do lông bông và vui thú, bỗng nhiên chui tọt “vào lồng”? Tại sao, tại sao thế?

Vì sao có người chân nhiều mồ hôi?

Có một số người đi đường nhiều hoặc sau khi chạy bộ, mồ hôi chân ra nhiều, ướt đẫm tất và giày, mùi rất khó chịu. Các nguyên nhân bao gồm: