Có phải các phương trình đều có thể giải bằng công thức không?

Nhiều người thích dùng công thức khi giải các phương trình vì chỉ cần theo các quá trình và quy phạm không cần phải tốn nhiều suy nghĩ. Ví như giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (trong đó a ≠ 0) ta chỉ cần dùng công thức:

ta có thể đưa ra hai nghiệm của phương trình. Vì vậy trong thời gian dài, người ta bỏ công tìm các công thức để giải phương trình các bậc, và trở thành một vấn đề quan tâm trọng điểm của đại số học.

Vào năm 1535, nhà toán học Italia lần đầu tiên tìm ra công thức để giải phương trình bậc ba. Họ tìm cách biến đổi phương trình bậc ba thành phương trình bậc hai, sau đó nhờ giải phương trình để tìm các nghiệm. Nhờ ý tưởng của phương pháp này, về sau nhà toán học Italia Ferali đã tìm công thức để giải phương trình bậc 4 và lần nữa chứng minh tính hữu hiệu của ý tưởng này.

Như vậy các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn đều có thể giải qua các công thức. Vậy với các phương trình bậc năm, bậc sáu và bậc cao hơn có thể dùng công thức để giải được không? Xuất phát từ nhận thức này từ thế kỉ XVII trở đi, các nhà toán học đều ra sức tìm các công thức để giải các phương trình bậc năm và bậc cao hơn.

Có điều lạ là vào thế kỉ XVI, nhà toán học Ferali 20 tuổi, không tốn nhiều thời gian lắm đã tìm ra công thức giải phương trình bậc bốn, điều mà trong suốt hai thế kỉ XVI, XVII không ít nhà toán học tài ba đã nghiên cứu mong tìm cách giải phương trình cao hơn một bậc là phương trình bậc năm nhưng không tìm thấy công thức.

Thế có phải với các phương trình từ bậc 5 trở lên không giải được bằng công thức? Vấn đề này được đặt ra vào năm 1824. Nhà toán học Na uy 22 tuổi là Abel sau bốn năm nỗ lực đã chứng minh: với các phương trình có bậc bằng 5 hoặc lớn hơn không thể biểu diễn các nghiệm của chúng qua các hệ số bằng các phép tính số học cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, luỹ thừa..). Từ đó vấn đề tìm công thức để giải phương trình bậc cao từ bậc 5 trở đi mới kết thúc.

Thế nhưng lí luận về giải các phương trình chưa chấm dứt. Những kết quả của Abel không hề nói là không có công thức để biểu diễn các phương trình có bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Ví dụ với phương trình x5 = N, với phương trình đơn giản này ta có thể tính trực tiếp nghiệm bằng phép toán khai căn. Do đó vấn đề được đẩy lên một bước mới. Các nhà toán học đưa ra luận đề với phương trình bậc cao phải có dạng như thế nào thì có thể biểu diễn nghiệm qua các hệ số phương trình thông qua các phép toán số học? So với luận đề trước đây, vấn đề đặt ra ở đây đã sâu sắc hơn.

Vào năm 1831, nhà toán học Pháp 20 tuổi là Galois đã đưa ra một hình thức trả lời vấn đề đặt ra một cách sắc bén và nhanh chóng. Galois đã xây dựng nên lí thuyết nhóm Galois là cơ sở cho đại số học hiện đại. Dựa vào lí thuyết nhóm Galois, Galois đã đưa ra điều kiện để một phương trình đại số bậc cao có thể giải được bằng căn thức đó là “phán đoán Galois”. Từ “phán đoán Galois” cũng đi đến kết luận là các phương trình tổng quát bậc lớn hơn hoặc bằng 5 (bậc n ≥ 5) không giải được bằng căn thức. Từ đó có thể thấy rằng định lí Abel chỉ là một hệ quả của lí thuyết Galois.