Hình hoa tuyết có bao nhiêu chiều?

Mọi người đều biết câu chuyện người mù sờ voi. Theo truyền thuyết, có ba người mù chưa từng thấy một con voi lớn, thế nhưng họ lại muốn biết con voi lớn nhỏ ra sao, do đó họ nghĩ cách đi sờ voi. Một người sờ trúng đuôi voi, anh ta cho rằng con voi giống một con rắn. Người thứ hai sờ đúng tai voi, anh ta cho rằng con voi giống như chiếc quạt lớn. Người thứ ba sờ đúng chân voi, anh ta nghĩ ngay đến việc con voi giống như một cây cột đình.

Câu chuyện về người mù sờ voi cảnh báo cho chúng ta về việc nhận thức sự vật không được đại khái mà phải nhìn từ nhiều phía. Nếu chúng ta dùng con mắt hình học trừu tượng để xem xét, ta có thể giải quyết vấn đề khái niệm số chiều. Đuôi voi chỉ có thể phân biệt được trên dưới là có một chiều. Tai voi như cái quạt có chiều trên dưới, có chiều trước sau nên có hai chiều. Chân voi có thể phân biệt trên dưới, trước sau, trái phải nên có ba chiều. Trong hình học các loại đường như đường thẳng, đường chu vi, chúng chỉ có một phương hướng độc lập đều có một chiều. Chỉ có thể hướng tới trước và hướng về sau. Đường cong có hai chiều phải có hai phương hướng độc lập: phương hướng chuyển động trước sau, hướng trái và hướng phải là hai hướng độc lập. Còn không gian mà người ta sinh sống có ba phương hướng độc lập: trước sau, trên dưới và trái phải tức có ba chiều. Vậy tiêu chí để đặc trưng cho số chiều thực tế là tiêu chí đặc trưng cho sự vật.

Thế đối với đường vẽ hoa tuyết sẽ ra sao? Vấn đề này được nhà toán học Thuỵ Điển là Ahe đã đưa vào mô hình của giới tự nhiên để đưa ra số chiều của đường vẽ hoa tuyết. Quá trình thực hiện như sau:

Giả sử E0 là tam giác đều có cạnh bằng 1. Ta chia cạnh E0 của tam giác thành ba phần đều nhau. Mỗi độ dài bằng 1/3 cạnh tam giác cũ sẽ là cạnh của tam giác đều. Ta gọi hình tam giác trung gian có cạnh bằng là E1. Ta lại làm như đã thực hiện với hình E, lại chia cạnh của E1 thành 3 phần đều nhau, ta được tam giác E2... và cứ thế tiếp tục. Khái quát lại với tam giác Ek+1 sẽ có cạnh bằng 1/3K+1 cạnh của tam giác EK. Nếu K càng ngày càng lớn thì EK sẽ ngày càng phức tạp và số răng của hoa tuyết sẽ trở nên ngày càng dày đặc. Sự thực thì cấu tạo của hoa tuyết sẽ trở nên vô hạn. Chỉ có điều vĩnh viễn người ta sẽ không đạt đến trạng thái lí tưởng.

Hiển nhiên “cái điều vĩnh viễn không thể đạt được đường cong lí tưởng” là không thể bàn cãi. Thế với một đường cong nói chung còn có điều gì đặc biệt nữa? Có. Trước hết đó là đường cong khép kín, giới hạn một khu vực mặt phẳng, có diện tích xác định. Thế cuối cùng đường ấy có độ dài bằng bao nhiêu? Xét theo quá trình cấu tạo ta có thể thấy mỗi bước thao tác đều làm tăng độ dài của đường cong thêm 1/3 tức có độ dài bằng 4/3 độ dài ban đầu. Tuỳ theo số bước thao tác tiếp tục sẽ làm cho độ dài của đường vẽ ngôi sao lớn đến vô hạn. Cuối cùng nếu ta thu hẹp tầm nhìn, tập trung ánh mắt vào một bộ phận của đường vẽ hoa tuyết ta sẽ phát hiện một điều kì lạ là đường vẽ ban đầu và phần cục bộ giống nhau. Đường vẽ hoa tuyết có những điểm đặc biệt như vậy chứng tỏ nó không phải là đường bình thường. Thực tế nó là một đường cong chia nhỏ hình (hay đường phân hình, hay fractan - btv).

Đối với một đường cong phân chia hình, ta không xem là đường cong có một chiều. Vì với đường cong vẽ hoa tuyết có thể nói đó là đường cong không có phương hướng. Phương hướng của đường cong tuỳ thuộc cách cấu tạo mà thay đổi vô số lần. Thế sẽ định nghĩa số chiều của đường này như thế nào? Chúng ta bắt đầu bằng việc nhìn cục bộ kết hợp với toàn thể.

Nếu ta tăng độ dài cạnh của một hình vuông có cạnh bằng 1 lên gấp đôi thì sẽ có 32 = 9 hình vuông cạnh bằng 1. Số chiều của hình sẽ là D(Q) = ln 9/ln 3 = 2. Nếu tăng độ dài của khối lập phương cạnh bằng 1 lên gấp đôi thì sẽ có 33 hình lập phương cạnh bằng 1 và số chiều D(C) = ln 27/ln 3 = 3. Điều này hoàn toàn phù hợp với quan niệm về số chiều đề ra từ ban đầu. Đối với đường cong vẽ hoa tuyết ta có thể xem xét theo cách tương tự, áp dụng cho đường cong vẽ hoa tuyết cấp K. K là do hình tam giác đều cạnh 1 đơn vị tạo nên (như hình 1). Nếu tăng độ dài của tam giác lên gấp đôi như ở hình 2 thì đường vẽ hoa tuyết sẽ tạo nên bốn hình cấp K và D(K) = ln 4/ln 3 = 1,26. Nếu tăng độ dài cạnh đến gấp ba sẽ được đường vẽ ngôi sao như ở hình 3. Như vậy đường vẽ ngôi sao theo kiểu phân hình đã được tạo ra bằng cách như trình bày.

Cách vẽ ra phương thức phân chia hình của con đường vẽ hoa tuyết vạch rõ tính kì lạ của đường hoa tuyết.