Làm thế nào để nhận biết một số tự nhiên chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11?

Việc phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác là một yêu cầu thường gặp trong cuộc sống. Đương nhiên nếu trong tay bạn có một máy tính, bạn chỉ cần đặt một phép tính hợp lý là tính toán xong. Khi số chia là số đơn giản (ví dụ số có một chữ số) thì có thể dùng một số quy tắc phán đoán. Khi các bạn nắm được các quy tắc thì không cần có máy tính, bạn cũng có thể giải bài toán về tính chia hết khá nhanh chóng.

Quy tắc phán đoán về tính chia hết có hai loại: Một là, xem chữ số cuối hoặc mấy chữ số cuối của các con số như ở các mục 1 và 2, sau đây; hai là tính tổng các chữ số trong con số hoặc xem xét các hệ số thích hợp cho các tổng mà phán đoán như ở các mục từ 3 đến 6.

1. Một số tự nhiên là số lẻ sẽ không chia hết cho 2; một số chẵn chia hết cho 2. Ví dụ các số 0, 2, 4. 6,...sẽ chia hết cho 2, còn các số lẻ như 1,3, 5, 7,...không chia hết cho 2.

2. Một số tự nhiên sẽ chia hết cho 5 nếu chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc 5; một số tự nhiên chia hết cho 25 nếu hai chữ số cuối của số đó là 00, 25, 50 hoặc 75, ví dụ số 120795 có thể chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.

3. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Ví như số 147345 thì tổng các chữ số của số đó là 5 + 4 + 3 + 7 + 4+ 1 = 24 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số trên chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

Vì sao lại có quy tắc dự đoán khá đơn giản như vậy?

Giả sử cho số:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...

trong đó a0, a1, a2, a3...là chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn...của số A; ta có thể viết:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...

= [(10 - 1) a1 + (102 - 1)a2 + (103 -1) a3] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...).

Dễ dàng nhận thấy 10n-1 là bội số của 3 và 9 vì vậy nếu số hạng thứ hai của biểu thức số A (biểu thức trong ngoặc đơn) viết ở trên là bội số của 3 và 9 thì số A sẽ chia hết cho 3 và 9. Từ đó ta đi đến quy tắc nếu a0 + a1 + a2 + a3 +... là bội số của 3 hoặc 9 thì số A chia hết cho 3 hoặc 9.

4. Một số chia hết cho 4 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục nhân đôi chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Một số tự nhiên chia hết cho 8 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị cộng với chữ số hàng chục nhân đôi và chữ số hàng trăm nhân 4 chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8. Ví dụ số 1390276 chia hết cho 4 vì 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4 nên số 1390276 chia hết cho 4. Số 1390276 không chia hết cho 8 vì theo quy tắc 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không chia hết cho 8.

Cách chứng minh quy tắc vừa nêu cũng tương tự như cách chứng minh ở 3.

Ta viết ví dụ:

A = [(10 - 2) a1 + (102 - 4)a2 + 103a3 +...] +(a0 + 2a1 + 4a2).

Dễ dàng nhận thấy biểu thức trong ngoặc vuông là bội số của 8 và A sẽ chia hết cho 8 nếu hạng số thứ hai của A phía bên phải (biểu thức trong ngoặc đơn) là bội số của 8.

5. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu số của tổng các số chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là bội số của 11. Ví dụ với số 268829 tổng các chữ số ở hàng lẻ 9 + 8 + 6 = 23, tổng các chữ số hàng chẵn là 2 + 8 + 2 = 12 hiệu của chúng đúng bằng 11 nên số này sẽ chia hết cho 11. Lại như với số 1257643 thì hiệu của hai tổng các chữ số là (3 + 6 + 5 + 1) - (4 + 7 + 2) = 2. Vì không phải là bội số của 11 nên số này không chia hết cho 11. Để chứng minh quy tắc ta viết:

A = [(10 + 1)a1 + (102 - 1)a2 + (103 + 1)a3 + (104 - 1)a4 +...] + [(a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)].

Số hạng thứ nhất của A là bội số của 11 nên nếu số hạng thứ hai là bội số của 11 (hiệu của tổng các chữ số ở hàng chẵn và các chữ số ở hàng lẻ) đương nhiên là A sẽ chia hết cho 11.

6. Chứng minh quy tắc chia hết cho 7 khá phức tạp mà ý nghĩa thực tiễn lại hạn chế nên ở đây chỉ giới thiệu quy tắc mà không đi sâu vào cách chứng minh.

Bạn hãy nhớ kĩ dãy hệ số tuần hoàn sau đây: 1, 2, 3, -1, -2, -3, 1, 3, 2,...

Muốn phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên bất kì có chia hết cho 7 hay không các bạn hãy nhân các chữ số với dãy số đã nêu, sau đó tính tổng số của chúng. Ví dụ, bạn hãy nhân các chữ số bắt đầu từ chữ số đơn vị là hệ số 1, chữ số hàng chục là hệ số 3, chữ số hàng trăm với hệ số 2, chữ số hàng ngàn với hệ số -1, v.v. rồi tính tổng đại số của các tích thu được. Nếu tổng số vừa tính được chia hết cho 7 thì số đó sẽ chia hết cho 7. Ví dụ xét số 5125764 chia hết cho 7 vì:

4 + 2 x 6 + 2 x 7 - 5- 3 x 2 -2 x 1 + 5 = 28 chia hết cho 7.

Khi xét tính chia hết của một số tự nhiên ta cần chú ý đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu một số A đồng thời chia hết cho hai số p và q thì cũng chia hết cho tích số p x q của hai số. Ví dụ số 5125764 đồng thời chia hết cho hai số 7 và 4 nên số này sẽ chia hết cho tích số 7 x 4 = 28 v.v...

Vì sao nói rượu ngon là nhờ môi trường thiên nhiên tốt đẹp?

"Nước là máu của rượu”. Câu nói này không có gì quá đáng.

Tại sao tàu ngầm có thể lặn xuống, nổi lên?

Những con tàu bình thường chỉ có thể lướt trên mặt biển. Nhưng tàu ngẩm vừa có thể đi trên mặt nước lại vừa có thể lặn sâu xuống biển đi ngẩm dưới nước. Ảo thuật gì ở đây vậy?

Thế nào là máy bay vũ trụ?

Máy bay vũ trụ (tàu con thoi) là một thiết bị đã được nghiên cứu, tên gọi đầy đủ của nó là Máy bay hàng không vũ trụ. Nghe tên thì biết, nó vừa bay...

Chỉ máy bay trực thăng mới có thể cất cánh và hạ cánh thẳng đứng?

Ưu điểm nổi bật nhất của máy bay trực thăng, đương nhiên là không cần dùng đường băng để lấy đà khi cất cánh, mà thông qua cánh quạt với tốc độ nhanh...

Tại sao hoa dạ hương vào ban đêm mới tỏa ra mùi hương thơm ngát?

Chúng ta thấy hoa đa số nở vào ban ngày và sau khi nở sẽ tỏa ra mùi hương. Thế nhưng hoa dạ hương lại không như vậy, chỉ đến ban đêm hoa mới tỏa hương...

Hiện tượng "nhà có ma" là thế nào?

Trên thế giới có nhiều nơi đồn đại về câu chuyện “nhà có ma” (hay gọi là “nhà chết”, “nhà quỉ”). Tương truyền người đến ở trong ngôi nhà đó sẽ chết...

Vì sao chụp ảnh trên không có thể phân biệt được tình hình dưới đất?

Ngày nay chụp ảnh trên không là một phương thức quan trọng để tìm hiểu tình hình dưới đất.

Vì sao cây ôn đới rụng lá mùa thu, cây nhiệt đới rụng vào đông?

Ở miền nhiệt đới, khi thu sang, lá cây vẫn xanh, hoặc chỉ hơi chớm vàng. Nhưng cùng thời điểm đó ở vùng ôn đới, lá đã rụng rào rào, và chỉ mới chớm...

Người máy đã phát triển như thế nào?

Ngay từ thời cổ đại, Trung Quốc đã có thể chế tạo ra những thiết bị cơ cấu tinh xảo do con người điều khiển có chức năng nào đó của con người hoặc...