Làm thế nào để nhận biết một số tự nhiên chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11?

Việc phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác là một yêu cầu thường gặp trong cuộc sống. Đương nhiên nếu trong tay bạn có một máy tính, bạn chỉ cần đặt một phép tính hợp lý là tính toán xong. Khi số chia là số đơn giản (ví dụ số có một chữ số) thì có thể dùng một số quy tắc phán đoán. Khi các bạn nắm được các quy tắc thì không cần có máy tính, bạn cũng có thể giải bài toán về tính chia hết khá nhanh chóng.

Quy tắc phán đoán về tính chia hết có hai loại: Một là, xem chữ số cuối hoặc mấy chữ số cuối của các con số như ở các mục 1 và 2, sau đây; hai là tính tổng các chữ số trong con số hoặc xem xét các hệ số thích hợp cho các tổng mà phán đoán như ở các mục từ 3 đến 6.

1. Một số tự nhiên là số lẻ sẽ không chia hết cho 2; một số chẵn chia hết cho 2. Ví dụ các số 0, 2, 4. 6,...sẽ chia hết cho 2, còn các số lẻ như 1,3, 5, 7,...không chia hết cho 2.

2. Một số tự nhiên sẽ chia hết cho 5 nếu chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc 5; một số tự nhiên chia hết cho 25 nếu hai chữ số cuối của số đó là 00, 25, 50 hoặc 75, ví dụ số 120795 có thể chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.

3. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Ví như số 147345 thì tổng các chữ số của số đó là 5 + 4 + 3 + 7 + 4+ 1 = 24 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số trên chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

Vì sao lại có quy tắc dự đoán khá đơn giản như vậy?

Giả sử cho số:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...

trong đó a0, a1, a2, a3...là chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn...của số A; ta có thể viết:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...

= [(10 - 1) a1 + (102 - 1)a2 + (103 -1) a3] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...).

Dễ dàng nhận thấy 10n-1 là bội số của 3 và 9 vì vậy nếu số hạng thứ hai của biểu thức số A (biểu thức trong ngoặc đơn) viết ở trên là bội số của 3 và 9 thì số A sẽ chia hết cho 3 và 9. Từ đó ta đi đến quy tắc nếu a0 + a1 + a2 + a3 +... là bội số của 3 hoặc 9 thì số A chia hết cho 3 hoặc 9.

4. Một số chia hết cho 4 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục nhân đôi chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Một số tự nhiên chia hết cho 8 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị cộng với chữ số hàng chục nhân đôi và chữ số hàng trăm nhân 4 chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8. Ví dụ số 1390276 chia hết cho 4 vì 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4 nên số 1390276 chia hết cho 4. Số 1390276 không chia hết cho 8 vì theo quy tắc 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không chia hết cho 8.

Cách chứng minh quy tắc vừa nêu cũng tương tự như cách chứng minh ở 3.

Ta viết ví dụ:

A = [(10 - 2) a1 + (102 - 4)a2 + 103a3 +...] +(a0 + 2a1 + 4a2).

Dễ dàng nhận thấy biểu thức trong ngoặc vuông là bội số của 8 và A sẽ chia hết cho 8 nếu hạng số thứ hai của A phía bên phải (biểu thức trong ngoặc đơn) là bội số của 8.

5. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu số của tổng các số chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là bội số của 11. Ví dụ với số 268829 tổng các chữ số ở hàng lẻ 9 + 8 + 6 = 23, tổng các chữ số hàng chẵn là 2 + 8 + 2 = 12 hiệu của chúng đúng bằng 11 nên số này sẽ chia hết cho 11. Lại như với số 1257643 thì hiệu của hai tổng các chữ số là (3 + 6 + 5 + 1) - (4 + 7 + 2) = 2. Vì không phải là bội số của 11 nên số này không chia hết cho 11. Để chứng minh quy tắc ta viết:

A = [(10 + 1)a1 + (102 - 1)a2 + (103 + 1)a3 + (104 - 1)a4 +...] + [(a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)].

Số hạng thứ nhất của A là bội số của 11 nên nếu số hạng thứ hai là bội số của 11 (hiệu của tổng các chữ số ở hàng chẵn và các chữ số ở hàng lẻ) đương nhiên là A sẽ chia hết cho 11.

6. Chứng minh quy tắc chia hết cho 7 khá phức tạp mà ý nghĩa thực tiễn lại hạn chế nên ở đây chỉ giới thiệu quy tắc mà không đi sâu vào cách chứng minh.

Bạn hãy nhớ kĩ dãy hệ số tuần hoàn sau đây: 1, 2, 3, -1, -2, -3, 1, 3, 2,...

Muốn phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên bất kì có chia hết cho 7 hay không các bạn hãy nhân các chữ số với dãy số đã nêu, sau đó tính tổng số của chúng. Ví dụ, bạn hãy nhân các chữ số bắt đầu từ chữ số đơn vị là hệ số 1, chữ số hàng chục là hệ số 3, chữ số hàng trăm với hệ số 2, chữ số hàng ngàn với hệ số -1, v.v. rồi tính tổng đại số của các tích thu được. Nếu tổng số vừa tính được chia hết cho 7 thì số đó sẽ chia hết cho 7. Ví dụ xét số 5125764 chia hết cho 7 vì:

4 + 2 x 6 + 2 x 7 - 5- 3 x 2 -2 x 1 + 5 = 28 chia hết cho 7.

Khi xét tính chia hết của một số tự nhiên ta cần chú ý đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu một số A đồng thời chia hết cho hai số p và q thì cũng chia hết cho tích số p x q của hai số. Ví dụ số 5125764 đồng thời chia hết cho hai số 7 và 4 nên số này sẽ chia hết cho tích số 7 x 4 = 28 v.v...

Vì sao phải đề phòng bệnh đau mắt đỏ?

Đau mắt đỏ là bệnh "viêm kết mạc cấp tính", do vi khuẩn hoặc độc tố bệnh gây nên. Bệnh phát rất gấp, sau khi nhiễm vi khuẩn hoặc độc tố bệnh mấy giờ...

Da ở đâu dày nhất cơ thể nhỉ?

Phần da ở lòng bàn tay và lòng bàn chân dày tới 4 mm và đây là vùng da dày nhất trên cơ thể con người. Khu vực này cũng là nơi tập trung tuyến mồ hôi...

Vì sao có một số vùng khoáng sản đặc biệt phong phú?

Trên Trái Đất, mỏ nằm dưới đất rất phong phú, nhưng sự phân bố của chúng không đồng đều. Có nhiều khoáng vật đặc biệt tập trung ở một số vùng nào đó,...

Vì sao không thể tiếp xúc nhiều với bông amiăng?

Bác sĩ sau khi kiểm tra một thiếu niên 14 tuổi đã rất kinh ngạc thấy rằng: tuy tuổi còn bé nhưng bệnh nhân đã mắc một chứng bệnh rất ít gặp, đó là...

Bài toán Hamintơn “Chu du vòng quanh Thế giới” có ý nghĩa gì?

Vào năm 1859, nhà toán học Anh Hamintơn (Hamilton) đã công bố một bài toán khá lí thú làm nhiều người đã phải bỏ nhiều công sức để giải nó.

Giấy cũng có thể dùng để làm nhà được sao?

Trong quan niệm của mọi người, giấy vừa mỏng vừa mềm không chịu được nước, không chịu được lửa. Một vật liệu "yếu ớt" như vậy lại có thể dùng để làm...

Người máy "nhìn thấy" vật thể như thế nào?

Thông tin mà con người có được từ ngoại giới thì 80% là thông tin thị giác. Bởi vậy, con mắt là cơ quan quan trọng của con người.

Tại sao lắp đặt anten công cộng thì hình ảnh truyền hình sẽ rõ?

Ngày nay, ti vi đã là một thiết bị điện không thể thiếu trong mỗi gia đình. Thế nhưng, cùng với sự tăng tốc của công cuộc xây dựng đô thị ở Trung...

Vì sao người ta ví mắt với máy ảnh?

Có người nói, hai mắt giống như hai máy ảnh đặt trên đầu, ví von như thế rất có lý. Bên ngoài nhãn cầu là tầng giác mạc không màu, trong suốt, giống...