Làm thế nào vẽ được ngôi sao năm cánh?

Ngôi sao năm cánh là loại hình vẽ mà mọi người khá quen thuộc. Thế nhưng bạn có biết cách vẽ chính xác một ngôi sao năm cánh? Dưới đây chúng tôi xin giới thiệu một phương pháp vẽ ngôi sao năm cánh chính xác.

1. Vẽ một vòng tròn tâm O.

2. Vẽ hai đường kính của vòng tròn AZ và XY vuông góc với nhau.

3. Chọn M là điểm giữa của OY.

4. Lấy M làm tâm, MA làm bán kính, vẽ cung tròn AN, cung tròn cắt OX tại điểm N.

5. Lấy A làm tâm, MA làm bán kính cắt trên vòng tròn các cung tròn liên tiếp bằng nhau: AB = BC = CD = DE = EA.

6. Nối liên tiếp các đỉnh AD, AC, EB, EC, BD, ta đã vẽ xong ngôi sao năm cánh.

Dưới đây ta sẽ chứng minh tính chính xác của cách vẽ vừa trình bày. Cho vòng tròn có bán kính R. Từ cách vẽ trên đây ra thấy:

Vì vậy

Nếu quả hình ngôi sao vừa vẽ là chính xác thì năm đỉnh của ngôi sao phải nội tiếp trong vòng tròn bán kính R. Nói khác đi, ta phải chứng minh AN chính bằng độ dài cạnh của ngũ giác đều nội tiếp trong bán kính vòng tròn ngoại tiếp của ngôi sao năm cánh.

Theo các kiến thức đã học ở bậc trung học, ta biết cạnh của hình thập giác đều nội tiếp trong hình tròn bán kính R sẽ bằng

a10 = 1/2 (√5 - 1)R

a10 là độ dài cạnh của thập giác đều nội tiếp trong vòng tròn bán kính R.

Dưới đây ta sẽ tính cạnh của ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn bán kính R. Giả sử DZ = ZC = a10 là cạnh của thập giác đều nội tiếp còn DC = a5 là cạnh của ngũ giác đều nội tiếp.

Tam giác cân ODZ có diện tích

Rõ ràng là AN = a5. Vì vậy phương pháp ta vẽ ngôi sao năm cánh trình bày ở trên là chính xác.

Không phải bất kì đa giác đều nào nội tiếp trong vòng tròn đều có thể vẽ được bằng thước và compa. Các hình tam giác đều, ngũ giác đều, thập giác đều cũng như các đa giác đều có nguồn gốc trực tiếp từ chúng như các hình có số cạnh 2n, 2n x 3, 2n x 5, 2n x 15 (n là số dương) là những đa giác đều mà từ hơn 2000 năm về trước vào thời đại Ơclit người ta đã biết. Từ đó rất nhiều năm sau chưa hề có bước đột phá nào, mãi đến thế kỉ XVIII Gauss mới lần đầu tiên tìm ra cách vẽ đa giác 17 cạnh. Có thể phán đoán: một đa giác đều n cạnh thì n = 2m. P1. P2...P mới có thể vẽ được bằng thước và compa. Trong đó P1, P2...P là các số 22k+1, m là số dương bất kì hoặc bằng 0. Lời dự đoán trên đây do Gauss đưa ra và đã cùng chứng minh với một nhà toán học khác.