Về “không gian nhiều chiều” trong toán học như thế nào?

Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói đến không gian là nói đến “không gian thực”, nói đến hình thức tồn tại khách quan của sự vật xác định bằng chiều dài, chiều rộng, chiều cao của các vật thể. Ví dụ không gian mà cái bàn, cái tủ chiếm lĩnh v.v... Còn “không gian” trong toán học vừa có ý là trừu tượng hoá hiện thực như điểm, đường, mặt phẳng, khối v.v...lại vừa do yêu cầu của bản thân toán học hoặc của các ngành khoa học tự nhiên khác mà các nhà toán học sáng tạo ra.

Ví dụ trong hình học không gian được xem là các tập hợp điểm, các tập hợp điểm này có thể là hữu hạn, vô hạn điểm. Do đó, “điểm” chỉ có vị trí, không có “điểm” to, nhỏ được trừu tượng hoá và xem là một không gian. Thế làm thế nào có thể phân biệt được các loại không gian: đường thẳng, mặt phẳng, khối đều là những không gian có vô số điểm? Đây chính là vai trò của số chiều của không gian- không gian nhiều chiều được phát sinh từ đầu thế kỉ XX, được phát triển và hoàn thiện trong quá trình xuất hiện và phát triển của lý thuyết topo. Trong quá trình phát sinh và phát triển lý thuyết topo đã xuất hiện lí thuyết về số chiều không gian được chỉ định bằng các số nguyên và đó là định nghĩa về số chiều của không gian.

Số chiều là số thực để mô tả vị trí điểm trong không gian. Các số chiều khác nhau phản ánh các loại không gian khác nhau. Ví dụ ta nói đường là “không gian một chiều”, vì vậy khi dùng một số thực x ta dễ dàng xác định vị trí một điểm trên một đường thẳng. Để xác định các điểm trong mặt phẳng cần có hai số thực (x, y) nên ta gọi mặt phẳng là không gian hai chiều. Tương tự để xác định một điểm trong một khối nào đó, ta cần ba số thực (x, y, z) nên không gian các hình khối được gọi là không gian 3 chiều. Còn với một hình chỉ có một điểm số chiều được xem bằng 0.

Các không gian một chiều, hai chiều và ba chiều đều có cơ sở trực giác. Các không gian từ bốn chiều trở lên đã trở thành trừu tượng. Loại không gian trừu tượng này được gọi chung là “không gian nhiều chiều”.

Tuy “không gian nhiều chiều” là trừu tượng nhưng rất có ích. Ví dụ khi nghiên cứu một chiếc máy bay trong không trung, các nhà khoa học cần xác định vị trí trọng tâm của máy bay đồng thời phải biết phương vị của máy bay. Để xác định vị trí trọng tâm của máy bay người ta dùng các toạ độ không gian x, y, z. Để xác định phương vị của máy bay tại thời điểm nào đó người ta phải dùng các góc phương vị Φ, θ, Ψ. Như vậy để xác định vị trí của máy bay ta cần 6 tham số (x, y, z, Φ, θ, Ψ). Để việc nghiên cứu được thuận tiện, người ta thường sắp xếp các tham số theo một thứ tự xác định gồm sáu trị số. Nhờ sáu trị số này ta có thể xác định một “điểm” trong không gian sáu chiều. Và “điểm” ở đây đã trở thành một trạng thái của hệ thống vật lí (như máy bay đang bay). Hệ thống vật lí này thay đổi theo thời gian, nhờ hệ “điểm” của không gian sáu chiều người ta có thể mô tả được trạng thái của hệ thống. Phương pháp miêu tả các hệ thống động bằng hình tượng hoá này hết sức tiện lợi không chỉ trong kĩ thuật công trình mà còn hết sức bổ ích trong nghiên cứu lí luận khoa học.