Vì sao các động tác “đứng nghiêm, quay phải, quay trái, đằng sau quay” lại có thể là đối tượng của toán học?

“Đứng nghiêm, quay trái, quay phải, quay đằng sau” là bốn động tác không phải là con số, không phải là hình vẽ vì sao lại trở thành đối tượng của toán học? Nhiều người không rõ tại sao.

Trước hết ta thử phân tích mối quan hệ nội tại của bốn động tác! Để dễ dàng theo dõi, ta dùng các kí hiệu I, R, L, H để biểu diễn bốn động tác: đứng nghiêm, quay trái, quay phải, quay đằng sau theo thứ tự. Ta lập tập hợp M = {I, R, L, H}. Nếu ban đầu ta cho quay phải, sau đó ta cho quay trái, kết quả là được tư thế như ban đầu (như khi chưa thực hiện động tác quay) tức động tác đứng nghiêm như ban đầu. Nếu ta dùng “o” biểu diễn việc thực hiện hai động tác liên tiếp. Như vậy ta sẽ có LoR = I. Tương tự RoL biểu diễn trước thực hiện quay trái, sau thực hiện quay phải, kết quả được I. Ho L biểu diễn trước hết thực hiện động tác quay trái, sau đó thực hiện động tác quay đằng sau, kết quả được R. Tiếp tục cách suy luận tương tự, ta có thể nhận được bảng sơ đồ quan hệ sau đây. Theo định nghĩa, phép tính “o” cho các yếu tố của tập hợp M, bốn phần tử của các tập hợp có mối liên quan:

Trước hết, với bất kì phần tử nào của M khi thực hiện động tác I cũng là chính động tác đó. 1, bởi vì khi nhân bất kì số nào với số 1 cũng được chính số đó. Do đó I gọi là phần tử đơn vị.

Mặt khác cũng như một số tự nhiên a, đều có số nghịch đảo 1/a, với bất kỳ một phần tử nào của M ta cũng có thể tìm được một phần tử đối ứng để khi thực hiện liên tiếp hai động tác đó ta lại được I. Hai động tác như vậy được gọi là hai động tác nghịch đảo tương ứng với nhau.

Thông qua bảng sơ đồ quan hệ trên đây ta có thể thấy L, R là nghịch đảo tương ứng với nhau, I và H là hai phần tử tự nghịch đảo đối với bản thân mình. Mặt khác, các phép tính của các phần tử của tập hợp M cũng có một số tính chất: ví dụ với phép tính tinh ta cũng có quy luật kết hợp. Ví dụ (LoR)o H = IoH = H, còn Lo(RoH) = LoL = H, vì vậy (LoR)oH = Lo(RoH).

Tóm lại với bốn yếu tố của tập hợp M: I, R, L, H khi thực hiện phép tính 0, có yếu tố đơn vị I, mỗi yếu tố đều có yếu tố nghịch đảo, khi thực hiện các phép tính với các yếu tố của M các phép tính cũng có quy luật kết hợp. Tất cả các quan hệ và các phép tính xác định kết cấu của tập hợp M. Toán học thường được trừu tượng hoá do việc nghiên cứu các đối tượng cụ thể như vậy. Vì vậy chúng ta nói các động tác “đứng nghiêm, quay phải, quay trái, quay đằng sau” tạo thành đối tượng của toán học. Môn toán học lấy các đối tượng thực tế này được trừu tượng hoá thành đại số “nhóm”. Mời các bạn xem xét sẽ thấy như các phần tử của M số nguyên, số hữu tỉ cũng tạo nên cấu trúc nhóm trong phép tính nhân.

Khái niệm nhóm do nhà toán học Pháp Galois đưa ra, ngày nay đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực khác như vật lí, hoá học cũng như nhiều ngành khoa học khác. Ngay cả định lí về việc không giải được các phương trình có bậc từ năm trở lên bằng phương pháp cầu phương cũng phải dùng lí thuyết nhóm mới chứng minh được.

Lớp phủ phía sau tấm gương bằng bạc hay thuỷ ngân?

Bạn hãy tự xem xét kỹ mặt sau của tấm gương soi. Bạn sẽ thấy chính là màu sáng lấp loáng của lớp bạc.

Thế nào là dạy học từ xa?

Dạy học từ xa là một mô hình dạy học sử dụng mạng máy tính. Gọi là từ xa là vì giáo viên và học sinh có thể không cùng một trường, học sinh cũng có...

Tại sao khi mỗi độ thu về thì lá cây xanh lại ngả màu vàng và rơi rụng?

Xưa nay vẫn cho rằng vì mùa thu khô ráo dẫn đến lá bị mất nước. Nhưng các nhà khoa học mới đây phát hiện ra rằng: sự biến màu của các lá cây có quan...

Vì sao keo dán không khô được mọi người ưa thích?

Ngày nay keo dán đã trở thành một họ lớn có nhiều thành viên: Từ các sản phẩm người ta đã biết từ thời xa xưa như keo dán bằng nhựa cây, keo xương,...

Khí nitơ có công dụng gì?

Thành phần nitơ trong không khí bị người ta cho là "khí trơ". Hầu như nitơ không tạo nên điều gì đáng chú ý.

Vì sao không thể chế tạo động cơ vĩnh cửu?

Chúng ta đều biết, bất kì một động cơ nào khi chuyển động đều phải tiêu hao năng lượng, và phải chống lại lực ma sát...

Tại sao trên núi lại có nhiều cây tùng?

"Chúng ta phải cao như cây tùng, không sợ sương gió, không ngại lạnh giá, xum xuê xanh ngát, bốn mùa xanh tươi”. Đây là sự tán dương của con người đối...

Vì sao lông mày không dài như tóc?

Mỗi người đều có lông mày. Giống như tóc, lông mày đều mọc lên từ da.

Vì sao nhiệt độ trong thành phố cao hơn ngoại ô?

Mùa hè trong thành phố khí hậu nóng bức, nhưng ra ngoại ô người ta cảm thấy mát mẻ dễ chịu hơn nhiều. Các số liệu thống kê khí tượng chứng tỏ: khí hậu...