Vì sao toán học cần lôgic nhưng lại không phải là lôgic học?

Toán học là ngành học nghiên cứu tính “chặt chẽ” và tính “chuẩn xác”. Trong các phép tính toán đều phải thực hiện từng bước theo các quy tắc tính. Trong các chứng minh hình học mỗi bước suy luận phải có lí do, có căn cứ. Các quy tắc, lí do, căn cứ là các yêu cầu “logic”. Mặc dù chúng ta chưa hề học qua một giáo trình về “logic” nhưng toán học đã đem lại cho ta cách tư duy lôgic một cách tự nhiên, vô thức. Các định lí toán học đã được dùng phương pháp logic để chứng minh, từng bước, từng bước một cách có căn cứ, có cơ sở lí luận, suy ra các kết quả hoàn toàn chính xác, không có gì nghi ngờ. Đó là đặc điểm chính của toán học. Vì vậy học cách suy luận lôgic, đó chính là một trong những mục tiêu khi học toán.

Thực ra thì suy luận lôgic toán học là loại tư duy hình thức mà không phải là toàn bộ. Toán học còn cần có quan sát trực quan, cần có dự đoán, cần có tưởng tượng. Với phương pháp suy luận lôgic: với các tiên đề chính xác các suy luận sẽ dẫn đến kết luận chính xác. Thế nhưng tiền đề đến từ đâu và có chính xác không và suy luận theo phương nào và tiến hành như thế nào thì suy luận lôgic không có cách nào xác định được. Ví dụ “giữa hai điểm ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng”, “qua một điểm cho trước ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước”, các mệnh đề trên đều phải qua quan sát phân tích hiện thực mà nhận được. Các khái niệm số π, số lẻ vô hạn tuần hoàn, số dương, số âm đều bắt nguồn từ việc quan sát, khảo sát hiện thực, kinh qua tư duy sáng tạo mà rút ra được. Cho nên có thể nói lôgic rất quan trọng, toán học cần đến lôgic, nhưng toán học không đồng nhất với lôgic học.