Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Vì sao ruộng lúa mà nuôi cá thì lúa tốt, cá béo?

Nuôi cá trong ruộng lúa còn gọi là “cá dưới lúa”, là một trong những phương thức sản xuất của đồng lúa khu vực miền núi và đồi gò ở phương nam Trung...

Tại sao dưa hấu có thể biến thành đạn pháo?

Dưa hấu có thể so sánh với đạn pháo được chăng? Không phải là anh đang pha trò đấy chứ?

Vì sao vòng năm của cây có thể phản ánh lịch sử ô nhiễm môi trường?

Trên mặt cắt ngang của thân cây có thể nhìn thấy nhiều vòng tròn đồng tâm có màu sắc đậm nhạt khác nhau, đó chính là vòng năm của cây. Nó không những...

Vì sao nói khả năng tự làm sạch của nước là có hạn?

Sau khi chất ô nhiễm xâm nhập vào nước, thông qua hàng loạt tác dụng về vật lí, hoá học, sinh vật nồng độ ô nhiễm sẽ dần dần giảm xuống. Sau một thời...

Làm thế nào sắp xếp công nhân bảo dưỡng sửa chữa hợp lí nhất?

Trên đây chúng ta đã nghiên cứu vấn đề bố trí số công nhân bảo dưỡng, sửa chữa cho một nhà máy, bây giờ chúng ta nghiên cứu cách sắp xếp để cho các...

Màn hình máy vô tuyến và máy tính có ảnh hưởng đến sức khỏe con người không?

Các nhà y học ngẫu nhiên phát hiện: người làm việc trước màn hình lâu trên mặt thường có những nốt đen. Do đó họ tiến hành nghiên cứu hiện tượng này,...

Vì sao trong hệ Mặt trời lại có nhiều tiểu hành tinh đến thế?

Trong hệ Mặt Trời có những gì? Một nhà thiên văn đã từng trả lời một cách khéo léo là: "Một họ đại hành tinh, một họ tiểu hành tinh". Câu nói này đã...

Mẹ của cừu "Đô-li" là ai?

Cừu "Đô-li" có tiếng tăm lẫy lừng là sản phẩm của kĩ thuật nhân bản. Sự khác biệt lớn nhất giữa con vật nổi tiếng trong giới khoa học kĩ thuật này với cừu bình thường chính là nó không có cha, nhưng lại có 3 mẹ.

Vì sao dùng các tính toán toán học có thể thay thế cho diễn tập quân sự?

Chúng ta biết dùng toán học có thể mô phỏng nhiều hiện tượng trong đời sống. Thế nhưng liệu có thể dùng toán học để mô phỏng chiến tranh không?