Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Vì sao chất bảo vệ da dùng axit hoa quả được mọi người ưa thích?

Mọi người đều ưa thích cái đẹp. Đại đa số giới nữ hết sức quan tâm đến việc bảo vệ da (không chỉ da mặt).

Vì sao nói vệ tinh thứ hai của Mộc Tinh có thể có sự sống?

Tháng 3 năm 1979 nước Mỹ phóng thiết bị thám hiểm "Người lữ hành số 1" (Voyagers) bay qua bầu trời Mộc Tinh đã bất ngờ phát hiện vệ tinh thứ hai của...

Khi gặp nạn trên biển, tự cứu như thế nào?

Biển cả mênh mông, thuyền bè qua lại tấp nập. Mọi người mong họ thuận buồm xuôi gió.

Tại sao khi bay qua những đám mây tích điện, máy bay không bị sét đánh trúng?

Trong những ngày mưa to gió lớn, máy bay gặp phải những đám mây tích điện là vô cùng nguy hiểm...

Trên Hoả Tinh có sông đào không?

Năm 1877 kỹ thuật quan trắc thiên văn đã có nhiều tiến bộ. Đó cũng là năm Hoả Tinh gần Trái Đất nhất, gọi là năm "đại xung".

Tại sao chó khi ngủ lại thích giấu mũi dưới chân trước?

Chó là loài động vật theo người sớm nhất, cũng là loài động vật chúng ta quen thuộc nhất. Chó có thể giúp loài người săn bắt và giữ nhà, vì vậy chúng thường được sống cùng với con người.

Bằng cách nào rắn nuốt con mồi to gấp nhiều lần đầu nó?

Ở đảo Hải Nam, Trung Quốc, người ta bắt được con rắn cạp nong còn nguyên cả một con dê nhỏ trong bụng. Con rắn chuông có thể nuốt chửng một con trăn...

Vì sao cam chua lại là thực phẩm có tính kiềm?

Nhiều người cho rằng, nước cam chua ắt phải là thực phẩm có tính axit. Thực ra theo hoá học thực phẩm, người ta gọi thực phẩm có tính axit hay kiềm...

Tại sao lắp đặt anten công cộng thì hình ảnh truyền hình sẽ rõ?

Ngày nay, ti vi đã là một thiết bị điện không thể thiếu trong mỗi gia đình. Thế nhưng, cùng với sự tăng tốc của công cuộc xây dựng đô thị ở Trung...