Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Vì sao tại nước Anh lại nổ ra cuộc chiến tranh Hoa hồng?

Vào tháng 8 năm 1453, ở Luân Đôn nước Anh, bỗng lan truyền một tin giật gân: Quốc vương Hen-ri VI bị bệnh tâm thẩn.

Đứng trước tình trạng nhiệt độ toàn cầu tăng lên, chúng ta phải có biện pháp gì?

Các nhà khoa học đã đưa ra hai biện pháp “thích ứng” và “hạn chế”. Thích ứng chính là áp dụng mọi biện pháp để thích ứng với sự thay đổi của khí hậu,...

Thêm dấu vào các chữ số của đồng hồ để tổng đại số của các con số bằng 0?

Trong một quyển sách toán cấp hai có một bài toán khá lí thú sau đây: Trên mặt đồng hồ có 12 con số, bạn hãy đặt các dấu cộng (+) dấu trừ (-) trước...

Vì sao máu nhân tạo có thể thay thế máu tự nhiên?

Mọi người đều biết cuộc sống con người không thể tách rời với máu. Khi bị thương hoặc khi qua phẫu thuật thường bị mất nhiều máu, việc tiếp máu là một...

Tại sao nói thực vật là bộ máy làm sạch bầu khí quyển bị ô nhiễm?

Con người trong quá trình duy trì sự sống đều phải hít khí oxi và thải khí cacbonic. Khi nồng độ cacbonic trong không khí quá cao, sự hô hấp của con...

Tại sao các cầu lớn phải xây lầu đầu cầu?

Ở hai đầu cầu tiếp nối với bờ của những cây cầu lớn thường được gọi là đầu cầu, công trình kiến trúc xây dựng ở vị trí đầu cầu gọi là lầu đầu cầu.

Các hành tinh khác của hệ Mặt trời có sự sống không?

Trong hệ Mặt Trời ngoài Trái Đất ra, trên các thiên thể khác có sự sống không? Đó là vấn đề từ lâu đã được mọi người rất quan tâm.

Vì sao vùng núi xuất hiện gió nóng?

Theo tên gọi ta có thể hiểu đó là luồng gió rất nóng. Nó là hiện tượng riêng của vùng núi, chắc còn xa lạ với nhiều người vùng khác.

Vì sao đồ dùng bằng chất dẻo bị cứng lại khi mùa đông đến?

Chất dẻo có một "tính xấu" là bị cứng lại khi mùa đông đến, khi ấm lên lại mềm trở lại? Vì sao vậy?