Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Vì sao núi lửa lại hoạt động được?

Núi lửa là hiện tượng nham thạch trong lòng đất phun ra. Bình thường nham thạch bị vỏ Trái Đất bao kín.

Kiến trúc hoa viên truyền thống của Trung Quốc có gì đặc sắc?

Công viên là nơi vui chơi giải trí của mọi người trong những ngày lễ tết. Người ta đến công viên xem hoa ngắm cá, trẻ nhỏ có chỗ vui chơi riêng.

Vì sao Liên hợp quốc phải ký kết Công ước khung biến đổi khí hậu?

Ngày 9 tháng 5 năm 1992, ở New york, toàn thế giới đã ký "Công ước đầu tiên của Liên hợp quốc về khung biến đổi khí hậu". Qua đó có thể thấy sự biến...

Vì sao cần "tồn trữ" hyđro vào kim loại?

Ngày nay loài người chủ yếu sử dụng dầu mỏ, than đá, khí thiên nhiên là các nhiên liệu hoá thạch làm nhiên liệu. Chúng đều là những nhiên liệu không...

Tại sao lại dùng i là đơn vị ảo?

Ta biết rằng trong phạm vi các số thực thì căn bậc hai của một số âm không có nghĩa, bởi vì số +2 nâng lên bình phương là +4 và số -2 nâng lên bình...

Có thể hợp nhất máy tính, ti vi và điện thoại làm một được không?

Ba chức năng máy tính, ti vi và điện thoại có thể được thực hiện bởi một thiết bị.

Làm thế nào vẽ được ngôi sao năm cánh?

Ngôi sao năm cánh là loại hình vẽ mà mọi người khá quen thuộc. Thế nhưng bạn có biết cách vẽ chính xác một ngôi sao năm cánh? Dưới đây chúng tôi xin...

Vì sao sau cơn giông, không khí trở nên trong lành hơn?

Vào chiều mùa hè thường có mây đen, mưa lớn, sấm chớp: Trời đổ cơn mưa giông. Làn gió ẩm thổi đi cái oi bức, gió mát đem lại cho người ta cảm giác dễ...

Rác thải thành phố nên được xử lí như thế nào?

Rác thải thành phố thông thường có thể phân thành hai loại lớn, là rác thải công nghiệp và rác thải sinh hoạt. Sản xuất công nghiệp sản sinh ra một...