Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Chiếc chậu đựng đầy nước và băng, khi băng tan nước có chảy ra ngoài?

Đặt một cục băng vào trong chậu, sau đó đổ nước đầy chậu, khi đổ sẽ có một phần băng nổi trên mặt nước

Tại sao nhiều người uống rượu bị đỏ mặt?

Uống rượu đỏ mặt có thể xảy ra ở bất cứ ai, song các nghiên cứu đã chỉ ra người châu Á thường bị đỏ mặt nhiều hơn.

Vì sao giấy gói hàng (giấy bao xi măng) lại bền như vậy?

Chắc các bạn thường thấy ở các công trường xây dựng người ta chất các bao xi măng thành đống. Xi măng được đóng bao kín trong những bao làm bằng giấy...

Vì sao phải đề phòng bệnh béo phì từ bé?

Cùng với mức sống được nâng cao, tỷ lệ bệnh béo phì có xu hướng tăng lên rõ rệt. Béo phì không

Lục địa có trôi không?

Mọi người đều biết con giun sống dưới đất, chúng bò rất chậm, hằng ngày đi chẳng được là bao. Nhưng cuối thế kỷ XIX các nhà khoa học phát hiện một...

Thế nào là ngư trường chăn nuôi biển?

Cá biển là một trong những nguồn anbumin động vật chủ yếu của con người, cũng là nguyên liệu chủ yếu của công nghiệp dược hiện đại. Loài cá khác nhau...

Tại sao cần phải có luật quốc tế?

Từ xa xưa đến nay luôn luôn xảy ra những mắc mớ giữa các nước về mậu dịch và lãnh thổ. Để giải quyết những mắc mớ đó, người ta phải họp nhau để thống...

Có những phương pháp nào để ngọt hoá nước biển?

Trên thế giới tài nguyên nước ngọt thiếu đã trở thành vấn đề ngày càng được loài người quan tâm, ảnh hưởng đến sự phát triển kinh tế của một số quốc...

Tại sao lợn thích dũi vách và ăn đất sét

Lợn được người nuôi, chẳng có việc gì ngoài ăn rồi ngủ. Nhưng thỉnh thoảng nó lại không chịu như vậy, mà luôn dũi vách, gặm tường.