Câu chuyện về số vô cùng bé và số 0 như thế nào?

Thế nào là số vô cùng bé? Ta xét một ví dụ hàm số f(x) = 1/x. Khi x lấy giá trị càng ngày càng lớn thì hàm f(x) sẽ ngày càng bé và tiến dần đến 0. Ta nói hàm f(x) tiến dần đến số vô cùng bé khi x → ∞ (dấu “→” chỉ tiến đến).

Người ta nói hàm f(x) tiến đến giá trị vô cùng bé khi x → x0 (hay x → ∞) và viết lim f(x) = 0 khi x → x0 (hay khi x → ∞). Nói một cách đơn giản 0 là giới hạn của số vô cùng bé. Từ đó ta có thể thấy vô cùng bé là một đại lượng biến thiên liên tục, không ngừng giảm đến giá trị càng nhỏ và tiếp cận dần với số 0. Ví dụ f(x) = x - 1 khi x → 1 cũng là số vô cùng bé.

Thế có phải số vô cùng bé là một số rất bé, ví dụ số 1 phần triệu? Cũng không phải, vì số vô cùng bé là một đại lượng biến thiên, là một hàm số khi x → x0 (hoặc x → ∞), là một quá trình tiến đến số rất bé, giá trị tuyệt đối của hàm số này là một số rất bé tuỳ ý, ví dụ số ε; một số dù bé đến mấy cũng không có tính chất như vậy.

Thế số vô cùng bé so với số 0 thì sẽ ra sao? Số 0 là số xác định, là một hằng số, còn số vô cùng bé như ta vừa thảo luận ở trên lại là một đại lượng biến thiên. Có thể lấy số 0 là hình ảnh của số vô cùng bé vì f(x) ≡ 0, thế thì với số ε bất kì với ε > 0 ta có. Vì vậy bản thân số 0 là số vô cùng bé nhưng số vô cùng bé chưa hẳn là số 0.

Khi xét việc thực hiện bốn phép tính số học với số 0, có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số 0 nhưng bản thân số 0 không thể làm số chia cho một phép tính chia. Với số vô cùng bé người ta cũng thực hiện được bốn phép tính số học. Nhưng cũng không thể dùng số vô cùng bé làm số chia cho một phép tính chia hay làm mẫu số ở một phân số. Tổng hiệu của hai số vô cùng bé là một số vô cùng bé, thế nhưng với phép chia hai số vô cùng bé thì sẽ có mấy tình huống khác nhau. Ví dụ với hai số vô cùng bé là α, β là hai đại lượng biến thiên dần đến giá trị nhỏ vô cùng (trừ trường hợp α = 0), nếu tồn tại giới hạn limβ/α thì limβ/α có thể là hằng số, có thể là số vô cùng bé hoặc một số vô cùng lớn.

Nếu limβ/α = 0 thì β là số vô cùng bé bậc cao hơn α.

Nếu limβ/α = ∞ thì β là vô cùng bé bậc thấp hơn α.

Nếu limβ/α = c (là hằng số ≠ 0) thì β và α là vô cùng bé đồng cấp. Đặc biệt khi c = 1 thì β và α là các số vô cùng bé có cấp bằng nhau.

Vì các vô cùng bé còn có phân biệt lớn, nhỏ nên có thể tiến hành các phép tính với các vô cùng bé.

Tại sao trong đầu của cá hoa vàng có hai viên đá nhỏ?

Trong khoang tai của cá có mọc một loại đá nghe bằng chất vôi. Hình dạng và sự lớn bé của nó ở trong các loại cá rất khác nhau.

Tại sao hươu cao cổ không bị chảy máu não?

Trong vương quốc động vật, hươu cao cổ là động vật có thân hình cao nhất, dường như là cao bằng ba người bình thường. Do đầu của nó cao tít phía trên,...

Vì sao nói "Lên trời còn dễ hơn xuống biển"?

Ngày nay đáp máy bay bay trên trời đối với mỗi người mà nói không còn là mơ ước nữa. Nhưng so với bay lên trời thì xuống sâu dưới biển không phải là...

Vì sao nói Mặt Trời là hằng tinh phổ thông?

Mặt Trời là thiên thể mà ta quen thuộc nhất. Nó là thiên thể trung tâm của hệ Mặt Trời, khối lượng đạt 2 tỉ tỉ tỉ tấn, nhiều hơn 33 vạn lần khối lượng...

Vì sao trong đêm tối, khi đi ở chỗ trống, ta thường hay quay vòng vê chỗ cũ?

Đêm tối mịt, nếu đi bộ ở chỗ trống, người ta thường hay lạc đường. Điều thú vị là phương thức lạc đường đại thể rất giống nhau: trong phạm vi nhất...

Tại sao máy tính lại coi là bộ não điện tử?

Loài người trong cuộc đấu tranh với tự nhiên đã dần dần sáng tạo ra đủ loại các công cụ và khí giới. Những công cụ và thiết bị khí giới này thực chất...

Gấu có gì khác với gấu người?

"Chỉ có anh hùng đuổi hổ báo, chứ không có hào kiệt sợ gấu, sợ gấu người". Gấu và gấu người được đề cập trong hai câu thơ này, rốt cuộc có sự khác...

Tại sao rừng có thể điều tiết khí hậu?

Mọi người thường nói rừng là một kho chứa nước phong phú của thiên nhiên, là bộ máy điều tiết khí hậu, cũng là vệ sĩ để giữ nước cho đất.

Vì sao thịt muối lại có màu đỏ?

Các loại thực phẩm bằng thịt như giăm bông, lạp xường, thịt muối đều có màu đỏ tươi. Màu đỏ này do đâu mà có? Đó là chất tiết ra chính từ trong thịt.