Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?

Số chẵn và số nguyên có nhiều như nhau không? Nhiều bạn chưa kịp suy nghĩ đã trả lời “không, không như nhau, bởi vì số chẵn là một bộ phận của số nguyên”. Hoặc cũng không ít người tỏ ý hoài nghi về câu hỏi này, không nắm chắc lắm nên trả lời: “có thể nhiều như nhau vì số nguyên và số chẵn có đối ứng 1 - 1”, Trong số đó có bạn viết lên bảng đối ứng 1 - 1 giữa số nguyên và số chẵn:

Trong hai loại ý kiến thì ai đúng, ai sai?

Bản chất vấn đề nêu trên chính là việc so sánh sự to nhỏ của hai tập hợp: tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn. Việc so sánh độ to, nhỏ của hai tập hợp hữu hạn khá đơn giản, nhưng với các tập hợp vô hạn thì thế nào là “to nhỏ” so với nhau, và so sánh được thực hiện như thế nào?

Đối với một tập hợp hữu hạn thì dựa vào số phần tử có trong mỗi tập hợp để so sánh và làm thước đo cho độ to, nhỏ. Ví dụ:

1. Một bộ phận so với toàn thể (theo lập luận của lí thuyết tập hợp) thì bộ phận nhỏ hơn toàn thể.

2. Nếu giữa hai tập hợp có thể thiết lập đối ứng 1 -1 giữa các phần tử của hai tập hợp thì chúng có độ lớn như nhau.

Hai cách trả lời trình bày trên kia chính là hai kết quả dựa vào hai tiêu chuẩn khác nhau đối với một tập hợp đơn giản suy ra cho một tập hợp vô hạn.

Thực ra trong hai tiêu chuẩn thì tiêu chuẩn hai là bản chất. Ta hãy suy nghĩ một chút từ “ba” có thể được trừu tượng hoá từ những sự vật gì? Mọi người đều biết có thể có “tập hợp ba con chó”, “tập hợp ba người”, “tập hợp ba quyển sách” v.v... Như vậy thông qua việc quan sát các sự vật khác nhau trên thực tiễn ta có thể đưa ra tập hợp “ba” trừu tượng có cùng đặc tính.

Tại sao tập hợp “ba” lại có cùng tính chất mà “tập hợp bốn người” lại không có cùng tính chất? Điểm chủ yếu của “ba” là có cùng tính chất có thể thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa chúng: ba người chăn dắt ba con chó thành đối ứng giữa “tập hợp ba con người” với “tập hợp của ba con chó”. Ba người đọc ba quyển sách ta thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa “tập hợp ba người” với “tập hợp của ba quyển sách”.

Theo phương thức tư duy này ta có thể mở rộng cho tập hợp vô hạn và thành lập lí luận “độ to nhỏ” của tập hợp vô hạn. Với hai tập hợp (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể thiết lập sự đối ứng 1 - 2 ta nói hai tập hợp có cơ số như nhau. Nếu như một tập hợp có thể thiết lập mối quan hệ đối ứng 1 - 2 với một tập hợp khác thì người ta nói tập hợp thứ nhất có cơ số không lớn hơn tập hợp thứ hai. Từ khái niệm khá trừu tượng là “cơ số” ta có thể so sánh độ lớn nhỏ của cơ số. Cơ số chính là được suy rộng từ khái niệm phần tử của tập hợp hữu hạn cho tập hợp vô hạn.

Theo định nghĩa đó, tập hợp có cơ số nhỏ nhất trong các tập hợp vô hạn chính là tập hợp các số tự nhiên. Bởi vì nếu có một tập hợp vô hạn, cứ mỗi lần ta rút ra một phần tử từ tập hợp đó, trong tập hợp vẫn tồn tại (dĩ nhiên không có phần tử bị rút ra), quá trình rút ra các phần tử của tập hợp có thể liên tục được thực hiện, và như vậy có thể thiết lập mối quan hệ 1 - 1 giữa các phần tử tập hợp vô hạn đã xét với tập hợp các số tự nhiên. Trong toán học người ta dùng chữ Hy Lạp X để kí hiệu tập hợp vô hạn (X đọc là Khi) và dùng kí hiệu X0 để kí hiệu tập hợp các số tự nhiên.

Quay lại vấn đề đặt ra từ ban đầu ta có thể suy ra tập hợp các số nguyên và số chẵn có cùng một số giống nhau, tức số nguyên và số chẵn có cùng một số và từ đó có cùng độ lớn như nhau, tức số nguyên và số chẵn nhiều như nhau. Sự thực thì cả hai tập hợp đều có cơ số là X0. Ta chỉ cần sắp xếp các số nguyên thành dãy 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...không một số nguyên nào có thể lọt ra ngoài bảng sắp xếp, và do đó ta đã thiết lập một đối ứng 1-1 giữa tập hợp số nguyên và tập hợp số tự nhiên. Từ đó có thể chứng minh các số hữu tỉ cũng có cơ số là X0. Các bạn có thể sắp xếp để thấy cơ số của tập hợp các số hữu tỉ là X0.

Đương nhiên cũng có các tập hợp có cơ số khác X0. Dưới đây ta sẽ chứng minh tập hợp các số thực là loại tập hợp như vậy.

Chúng ta đã thấy tập hợp vô hạn được mở rộng từ cơ số tập hợp hữu hạn nhưng giữa cơ số của tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn có sự khác biệt rất lớn.