Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?

Số chẵn và số nguyên có nhiều như nhau không? Nhiều bạn chưa kịp suy nghĩ đã trả lời “không, không như nhau, bởi vì số chẵn là một bộ phận của số nguyên”. Hoặc cũng không ít người tỏ ý hoài nghi về câu hỏi này, không nắm chắc lắm nên trả lời: “có thể nhiều như nhau vì số nguyên và số chẵn có đối ứng 1 - 1”, Trong số đó có bạn viết lên bảng đối ứng 1 - 1 giữa số nguyên và số chẵn:

Trong hai loại ý kiến thì ai đúng, ai sai?

Bản chất vấn đề nêu trên chính là việc so sánh sự to nhỏ của hai tập hợp: tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn. Việc so sánh độ to, nhỏ của hai tập hợp hữu hạn khá đơn giản, nhưng với các tập hợp vô hạn thì thế nào là “to nhỏ” so với nhau, và so sánh được thực hiện như thế nào?

Đối với một tập hợp hữu hạn thì dựa vào số phần tử có trong mỗi tập hợp để so sánh và làm thước đo cho độ to, nhỏ. Ví dụ:

1. Một bộ phận so với toàn thể (theo lập luận của lí thuyết tập hợp) thì bộ phận nhỏ hơn toàn thể.

2. Nếu giữa hai tập hợp có thể thiết lập đối ứng 1 -1 giữa các phần tử của hai tập hợp thì chúng có độ lớn như nhau.

Hai cách trả lời trình bày trên kia chính là hai kết quả dựa vào hai tiêu chuẩn khác nhau đối với một tập hợp đơn giản suy ra cho một tập hợp vô hạn.

Thực ra trong hai tiêu chuẩn thì tiêu chuẩn hai là bản chất. Ta hãy suy nghĩ một chút từ “ba” có thể được trừu tượng hoá từ những sự vật gì? Mọi người đều biết có thể có “tập hợp ba con chó”, “tập hợp ba người”, “tập hợp ba quyển sách” v.v... Như vậy thông qua việc quan sát các sự vật khác nhau trên thực tiễn ta có thể đưa ra tập hợp “ba” trừu tượng có cùng đặc tính.

Tại sao tập hợp “ba” lại có cùng tính chất mà “tập hợp bốn người” lại không có cùng tính chất? Điểm chủ yếu của “ba” là có cùng tính chất có thể thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa chúng: ba người chăn dắt ba con chó thành đối ứng giữa “tập hợp ba con người” với “tập hợp của ba con chó”. Ba người đọc ba quyển sách ta thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa “tập hợp ba người” với “tập hợp của ba quyển sách”.

Theo phương thức tư duy này ta có thể mở rộng cho tập hợp vô hạn và thành lập lí luận “độ to nhỏ” của tập hợp vô hạn. Với hai tập hợp (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể thiết lập sự đối ứng 1 - 2 ta nói hai tập hợp có cơ số như nhau. Nếu như một tập hợp có thể thiết lập mối quan hệ đối ứng 1 - 2 với một tập hợp khác thì người ta nói tập hợp thứ nhất có cơ số không lớn hơn tập hợp thứ hai. Từ khái niệm khá trừu tượng là “cơ số” ta có thể so sánh độ lớn nhỏ của cơ số. Cơ số chính là được suy rộng từ khái niệm phần tử của tập hợp hữu hạn cho tập hợp vô hạn.

Theo định nghĩa đó, tập hợp có cơ số nhỏ nhất trong các tập hợp vô hạn chính là tập hợp các số tự nhiên. Bởi vì nếu có một tập hợp vô hạn, cứ mỗi lần ta rút ra một phần tử từ tập hợp đó, trong tập hợp vẫn tồn tại (dĩ nhiên không có phần tử bị rút ra), quá trình rút ra các phần tử của tập hợp có thể liên tục được thực hiện, và như vậy có thể thiết lập mối quan hệ 1 - 1 giữa các phần tử tập hợp vô hạn đã xét với tập hợp các số tự nhiên. Trong toán học người ta dùng chữ Hy Lạp X để kí hiệu tập hợp vô hạn (X đọc là Khi) và dùng kí hiệu X0 để kí hiệu tập hợp các số tự nhiên.

Quay lại vấn đề đặt ra từ ban đầu ta có thể suy ra tập hợp các số nguyên và số chẵn có cùng một số giống nhau, tức số nguyên và số chẵn có cùng một số và từ đó có cùng độ lớn như nhau, tức số nguyên và số chẵn nhiều như nhau. Sự thực thì cả hai tập hợp đều có cơ số là X0. Ta chỉ cần sắp xếp các số nguyên thành dãy 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...không một số nguyên nào có thể lọt ra ngoài bảng sắp xếp, và do đó ta đã thiết lập một đối ứng 1-1 giữa tập hợp số nguyên và tập hợp số tự nhiên. Từ đó có thể chứng minh các số hữu tỉ cũng có cơ số là X0. Các bạn có thể sắp xếp để thấy cơ số của tập hợp các số hữu tỉ là X0.

Đương nhiên cũng có các tập hợp có cơ số khác X0. Dưới đây ta sẽ chứng minh tập hợp các số thực là loại tập hợp như vậy.

Chúng ta đã thấy tập hợp vô hạn được mở rộng từ cơ số tập hợp hữu hạn nhưng giữa cơ số của tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn có sự khác biệt rất lớn.

Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Trên đây chúng ta vừa nghiên cứu tập hợp số thực có cơ số không phải là X0. Để đưa ra kết luận này, điểm chủ yếu là không thể sắp xếp các số thực theo...

Vì sao Trung Quốc cấm đốt pháo?

Hằng năm khi đến tết, nhiều người rất thích đốt pháo, đặc biệt là trẻ em. Đốt pháo nổ hoặc đốt pháo bông, pháo hoa, màu sắc muôn vẻ thật là náo nhiệt!...

Vì sao nói "triều đỏ" là một kiểu ô nhiễm của biển?

Tháng 6 năm 1957 trên biển ả Rập, một tàu chở hàng của Liên Xô (cũ) đang đi về phía trước, đột nhiên rung chuyển giống như tàu đụng phải một vật lớn...

Vì sao có thể dùng vệ tinh để trinh sát quân sự?

Vệ tinh trinh sát là loại vệ tinh thu thập thông tin tình hình quân sự. Nó "đứng cao, nhìn xa", là "gián điệp" trên không rất linh hoạt.

Kiến trúc vỏ mỏng có những ưu điểm gì?

Kiến trúc vỏ mỏng là một loại kiến trúc thân vỏ có dạng mặt cong làm bằng bê tông cốt thép, có thể đơn độc dùng làm mái nhà, cũng có thể ngay cả khối...

Nước đựng trong thùng lăng trụ, chữ nhật khi để nghiêng sẽ có hình dạng thế nào?

Xin các bạn hãy đổ vào một thùng đựng hình lăng trụ chữ nhật một lượng nước có màu (để dễ nhìn thấy), hãy cố định thùng lăng trụ chữ nhật theo một...

Nếu nối các mạch máu của bạn lại với nhau thì chúng sẽ có độ dài là bao nhiêu?

Chiều dài đó sẽ là 60.000 dặm, tương đương với 96.

Tìm bạn trên mạng Internet như thế nào?

Cách tìm bạn trên mạng Internet có rất nhiều. Nếu bạn đã vào mạng thì bạn sẽ có thể thấy chat room (phòng chat) và diễn đàn trên một số trang web.

Vì sao phải xây dựng hệ thống rừng bảo hộ "Tam Bắc"?

Vạn lí trường thành là một kì tích lớn trong lịch sử văn minh nhân loại. Trong tương lai không xa, một bức “Vạn lí trường thành xanh” sẽ sừng sững mọc...