Thế nào là hình vuông bí ẩn?

Theo truyền thuyết vào thời vua Đại Vũ trị thuỷ (23 thế kỉ trước Công Nguyên), có một con rùa lớn nổi lên trên sông Lạc, trên lưng con rùa có chín loại hoa văn, người đời sau gọi đó là “Lạc thư”. Trên thực tế đó là chín số tự nhiên liên tục được xếp trên ba hàng với chín ô. Điều kì diệu là ở chỗ tổng tất cả số trên một hàng hoặc một cột, trên đường chéo đều bằng 15, vả lại chín số tự nhiên này không có sự lặp lại trong các ô, cũng không bỏ sót.

Hơn nữa các nhà nghiên cứu lại thấy là không chỉ ở Lạc thư mới có các ô vuông bí ẩn này. Nếu xếp các số tự nhiên từ 1 đến n2 trên các ô vuông thì người ta cũng thu được các hình vuông có tính chất tương tự và được gọi là “biểu đồ ngang dọc” (đồ thị 2 chiều), còn ở phương Tây người ta gọi là “ma trận vuông ảo”. Các hình vuông có hàng và cột và số hàng và cột là n thì gọi là bậc của hình vuông ảo hay “ma trận1 bậc n”. Bậc của hình vuông trong “Lạc thư” là bậc ba (xem hình dưới), đây chính là loại ma trận đơn giản nhất.

Người ta còn tìm thấy các số trong ma trận chỉ cần là n2 số bất kì mà không nhất thiết phải là các số tự nhiên từ 1 đến n2. Các số tự nhiên được xếp vào các ô vuông gọi là các ma trận có n cột, n hàng. Ngày nay các ma trận có bậc n ngày càng lớn. Ma trận bậc ba hiện không chỉ có một ma trận trong Lạc thư. Xuất phát từ ma trận Lạc thư nếu thêm vào các số một số, ta sẽ được một ma trận mới. Với một ma trận cấp ba với một số k cho trước nếu thêm vào số (k - 1)d (d là số bất kì) ta cũng nhận được một ma trận bậc ba mới:

Các bạn có thể tìm xem các ma trận này được cấu tạo như thế nào không?

Gần đây người ta đã mở rộng ý nghĩa của ma trận. Các ma trận này không chỉ có tổng các số theo hàng ngang, hàng dọc, theo đường chéo bằng nhau mà tích các số cũng bằng nhau, người ta gọi đó là các “ma trận kép mở rộng”. Hai ma trận kép, một ma trận có tám hàng, tám cột, còn ma trận kia có số hàng số cột gấp đôi.

Thế liệu các ma trận có ứng dụng gì trong thực tiễn? Trước hết ta thử xem lsy thuyết “thi đấu cờ đồng đội”. Mọi người đều biết, trong thi đấu cờ vây, đấu thủ ở đẳng cấp thấp không thể thắng được đấu thủ đẳng cấp cao hơn. Giả sử tham dự thi đấu cờ vây có ba đội A, B, C, mỗi đội có ba kì thủ. Thực lực của mỗi đội có thể như sắp xếp ở Lạc thư. Đội A có một kì thủ cấp bốn, cấp chín và cấp hai; B có các kì thủ ở các đẳng cấp cấp ba, cấp năm và cấp bảy; Đội C có các kì thủ ở các đẳng cấp cấp sáu, cấp một và cấp sáu. Nếu các cuộc thi đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn thì cần phải tiến hành chín trận đấu mới phân thắng bại. Ta thử xem xét tình hình thi đấu của hai đội A và B. Theo như cách sắp xếp lực lượng như hình vẽ, A có thể thắng bốn trận còn B có thể thắng năm trận và như vậy B > A. Căn cứ lí luận tương tự ta thấy C > B. Theo tiên đề về đại lượng không bằng nhau trong toán học ta có C > A. Thế nhưng phân tích theo Lạc thư thì cũng dễ thấy C thắng bốn trận còn đội A thắng năm trận và ta có A > C, vì vậy ở đây không thể ứng dụng được tiên đề về đại lượng không bằng nhau.

Với sự phát triển của máy tính điện tử, ma trận lại có thêm một ý nghĩa mới. Trước mắt, đối với các mặt phân tích tổ hợp, lí thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo ma trận đều có tác dụng to lớn. Hiệp hội máy tính Mỹ khi soạn thảo trợ giúp trật tự bộ nhớ (CACM) đã soạn thảo việc đưa ma trận vào việc tạo trình tự. Kiến trúc sư Bột La Đông đã phát hiện tính đối xứng hết sức phong phú của các ma trận, trong đó có nhiều đồ án rất đẹp, có thể sử dụng vào các ngành công nghiệp nhẹ, trong thiết kế các bao bì.

Ma trận ngày càng được người ta coi trọng. Ở nước ngoài đã xuất bản một cuốn sách nổi tiếng là “Đại số học hiện đại và ứng dụng” cuốn sách đã mở ra lĩnh vực chuyên môn mà trước đây người ta cho là trò tỉa tót vô bổ.