Thế nào là định lí lớn Ferma?

Chúng ta đều biết phương trình x2 + y2 = z2có vô số nghiệm khác không.

Ví dụ bộ ba số gọi là bộ số tam giác thời Trung Quốc cổ đại có cạnh góc vuông là 3, 4, đường huyền là 5 là nghiệm của phương trình x = 3; y = 4, z = 5.

Vấn đề đặt ra là liệu bài toán mở rộng xn + yn = zn khi n > 2 có nghiệm khác 0 hay không? Nghiệm khác 0 ý nói cả ba x, y, z đều phải khác 0. Nếu không chỉ cần ví dụ x = 0 thì y=z có thể nghiệm đúng với bất kì số nguyên nào.

Ferma, nhà toán học Pháp vào thế kỉ XVII đã từng nghiên cứu vấn đề này. Ferma là một luật sư nổi tiếng đồng thời là nhà toán học. Tuy ông chưa hề được học môn toán một cách chính quy nhưng ông có niềm ham thích toán học và có những sáng tạo phi phàm. Ferma có thói quen là khi đọc sách ông thường ghi những nhận xét của mình ở bên lề và các chỗ giấy trắng trong sách. Khi ông qua đời, con ông đã xem lại các bút tích và thư từ của cha để lại và tìm thấy ở một góc trang có ghi “Không thể một số mà khi nâng lên luỹ thừa bậc ba lại bằng tổng luỹ thừa bậc ba của hai số khác. Không có một số mà luỹ thừa bậc bốn lại bằng tổng luỹ thừa bậc bốn của hai số khác. Nói chung không thể tìm được một số mà khi nâng lên luỹ thừa lớn hơn 2 lại bằng tổng luỹ thừa cùng bậc của hai số khác. Tôi đã có một chứng minh đầy đủ và tuyệt đẹp về mệnh đề này nhưng tiếc rằng không đủ chỗ giấy trống để viết ra được”. Như vậy theo cách nói của Ferma thì phương trình xn + yn = zn với n > 2 không có nghiệm khác không. Các nhà toán học đương thời đều tin Ferma có thể chứng minh được kết luận này gọi đó là “định lí Ferma lớn”.

Nhiều nhà toán học cẩn thận không hoàn toàn tin cậy vào các ghi chú của Ferma nên họ hết sức tìm hiểu sâu hơn và mong tìm lại được các “chứng minh tuyệt đẹp và đầy đủ của Ferma”. Thế nhưng trải qua 300 năm vấn đề tưởng như đơn giản đã làm điên đảo các nhà toán học kiệt xuất trong đó có cả Euler, Dirichlet, Legendre, v.v... là những người mà tên tuổi của họ đã lừng danh trên các tác phẩm về toán học. Nhưng công sức của họ bỏ ra không phải là vô ích. Năm 1770, Euler chứng minh với n =3 và n = 4, định lí Ferma là đúng. Năm 1825, Dirichler và Legendre chứng minh với n = 5 thì kết luận chính xác. Năm 1839, Lamay chứng minh kết luận đúng với n = 7. Khomol khi bắt đầu nghiên cứu “số lí tưởng” vào năm 1874 đã chứng minh trừ các số 37, 59 và 67 thì với các số nhỏ hơn 100 kết luận của Ferma là chính xác... Cho đến năm 1976, có người dùng máy tính điện tử chứng minh với n < 125.000 thì định lí Ferma hoàn toàn đúng. Những kết quả vừa nêu đã cổ vũ mọi người, nhưng nếu cứ tiếp tục theo đà này thì “định lí lớn Ferma” vĩnh viễn không có cơ hội trở thành một định lí thực thụ bởi vì n là một số tự nhiên vô cùng vô tận.

Nhưng đến những năm cuối thế kỉ XX vấn đề đã có chuyển biến cơ bản để đến hồi kết thúc. Vào tháng 9-1994 nhà toán học Anh Andrew Wiles đã hoàn toàn chứng minh được định lí Ferma và bước sang thế kỉ XXI định lí Ferma đã trở thành một định lí thực thụ. Con đường mà các nhà toán học hiện đại giải quyết bài toán không giống với con đường của bản thân Ferma, Euler và các nhà toán học kiệt xuất tiền bối khác. Toán học hiện đại đã có nhiều phân ngành (lí luận đường elip, lí thuyết mô hình, lí thuyết biểu diễn Canbi v.v..) phát huy được tác dụng tổng hợp và đưa lí thuyết số học đến chỗ cao siêu nhờ những cống hiến xuất sắc của nhiều nhà toán học. Dù có những cống hiến xuất sắc, nhưng do vấn đề tuổi tác nên Wiles không được Hội nghị Toán học Quốc tế năm 1998 tặng giải thưởng Fields, nhưng đã đặc cách để ông báo cáo chuyên đề trong hội nghị lớn. Vào buổi tối hôm đó, nhiều nhà toán học đã đến hội trường sớm hàng giờ đề nghị ông báo cáo.

Định lí lớn Ferma đã có hồi kết cục. Trong quá trình chứng minh định lí lớn Ferma đã phát sinh nhiều tư tưởng toán học và các thành quả toán học mới, đã thúc đẩy toán học phát triển, điều đó khiến ý nghĩa của định lí Ferma vượt ra khỏi khuôn khổ của một định lí.