Vì sao người ta chia ra hai loại số hữu tỉ và số vô tỉ?

Câu hỏi này liên quan đến một câu chuyện cổ lí thú.

Vào thế kỉ thứ VI trước Công nguyên có nhà toán học cổ Hy Lạp là Pithagore, ông cho rằng trên đời chỉ có loại số nguyên và tỉ số giữa hai số nguyên (phân số). Ví dụ người ta có thể dùng số nguyên hoặc tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn độ dài của một đoạn thẳng. Khi dùng lực như nhau để gảy lên các dây đàn có tỉ số độ dài bằng tỉ số các số nguyên như 2: 3 hoặc 3: 4 thì sẽ phát ra các hài âm (âm giai: âm thanh êm tai). Tóm lại theo quan điểm của Pithagore, “vạn vật trong vũ trụ đều liên quan với số nguyên”.

Thế nhưng thực tế lại không phải như vậy.

Một ngày kia, có một học sinh đặt ra cho Pithagore một câu hỏi: Liệu có thể dùng số nguyên hay tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn đường chéo của hình vuông mà cạnh hình vuông bằng 1? Để trả lời câu hỏi này cần phải chứng minh. Pithagore đã tiến hành phương pháp chứng minh như sau đây:

Trên hình vẽ trình bày hình vuông cạnh bằng 1 và đường chéo giả sử được biểu diễn bằng số nguyên hay tỉ số của hai số nguyên p/q.

Theo định lí Pithagore ta có:

(p/q)2 = 12 + 12 = 2

hay p2 = 2q2

Theo kết quả trên vì 2q2 là số chẵn nên p2 là số chẵn (p không thể là số lẻ vì một số lẻ bất kì, ví dụ 2n + 1 khi nâng lên bình phương phải là số lẻ: (2n+1)2 = 4n2 + 2n2+1.

Vả lại p và q không có ước số chung nên p đã là số chẵn thì q phải là số lẻ.

Nếu p là số chẵn, ta có thể đặt p = 2a do vậy

điều đó chứng minh q2 là số chẵn và như vậy q cũng phải là số chẵn; như vậy trái với giả thiết đặt ra từ ban đầu và xuất hiện mâu thuẫn là q vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Mâu thuẫn vừa nêu đã đẩy Pithagore vào chỗ bí nhưng cũng làm nhận thức về số của loài người tiến lên một bước.

Việc không thể dùng số nguyên hoặc phân số để đo độ dài của đường chéo hình vuông cạnh bằng 1 không có nghĩa là độ dài của đường chéo này không tồn tại. Thực ra ứng dụng định lí Pithagore ta dễ dàng tìm thấy độ dài của đường chéo là căn số bậc hai của số 2, tức số √2. Như vậy ngoài số nguyên và phân số (tỉ số hai số nguyên) người ta phát hiện một loại số mới mà thời đó còn chưa biết. Do số √2 không biểu diễn được thành tỉ số của hai số nguyên nên người xưa gọi đó là số vô tỉ (không biểu diễn được dưới dạng một tỉ số của hai số nguyên).

Vì sao kim cương lại đặc biệt cứng như vậy?

Chắc các bạn không hề nghĩ rằng giữa kim cương sáng lấp lánh và than chì đen thui thủi lại là anh em họ hàng, đều là cacbon tinh khiết, tồn tại trong...

Vì sao có bão cát?

Ngày 12 tháng 5 năm 1934 nước Mỹ xảy ra một trận bão cát nghiêm trọng nhất trên thế giới. Hôm đó mấy bang ở bình nguyên miền Tây nước Mỹ nổi lên một...

Hồng triều là thế nào?

Hồng triều (thuỷ triều đỏ) do các sinh vật phù du sống trong nước biển gặp được điều kiện môi trường thích hợp mà sinh sôi nảy nở nhanh chóng, hoặc...

Vì sao gió ban ngày mạnh hơn ban đêm?

Ngày hè nóng nực và oi ả, bạn mong cho đêm mau xuống và chờ đợi những làn gió mát. bạn có thể cho rằng buổi tối gió mạnh hơn. Nhưng thực ra, đó chỉ là cảm giác của chúng ta mà thôi...

Buôn bán nô lệ có từ khi nào?

Buôn bán nô lệ là màn khởi xướng của người Bồ Đào Nha. Khi đó bọn thực dân châu Âu xây dựng rất nhiều trang trại và các mỏ vàng ở châu Mỹ để khai thác...

Bốn phát hiện lớn của thiên văn học trong những năm 60 của thế kỷ XX là gì?

Những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự nâng cao tính năng của kính viễn vọng vô tuyến loại lớn, trong môn khoa học hấp dẫn con người nhất là môn...

Thế nào là ngư trường chăn nuôi biển?

Cá biển là một trong những nguồn anbumin động vật chủ yếu của con người, cũng là nguyên liệu chủ yếu của công nghiệp dược hiện đại. Loài cá khác nhau...

Tại sao sinh vật có thể bị tuyệt chủng?

Chim Đô Đô và chim bồ câu Bắc Mĩ là những sinh vật đã từng tồn tại trên Trái Đất với số lượng lớn và sớm đã trở thành di vật của lịch sử. Những loại động vật quý hiếm khác như hổ Đông Bắc, voi Châu Phi, hắc tinh tinh...

Tại sao cầu Triệu Châu qua hơn một nghìn năm mà vẫn rất vững chắc?

Cầu Triệu Châu nằm ở vùng Triệu Châu, tỉnh Hà Bắc, Trung Quốc, xây từ năm 591-599, vào khoảng thời gian trị vì của vua Khai Hoàng đời Tuỳ, cách đây đã...